Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephiso Structured version   Unicode version

Theorem alephiso 7979
 Description: Aleph is an order isomorphism of the class of ordinal numbers onto the class of infinite cardinals. Definition 10.27 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
alephiso

Proof of Theorem alephiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfnon 7946 . . . . . 6
2 isinfcard 7973 . . . . . . . 8
32bicomi 194 . . . . . . 7
43abbi2i 2547 . . . . . 6
5 df-fo 5460 . . . . . 6
61, 4, 5mpbir2an 887 . . . . 5
7 fof 5653 . . . . 5
86, 7ax-mp 8 . . . 4
9 aleph11 7965 . . . . . 6
109biimpd 199 . . . . 5
1110rgen2a 2772 . . . 4
12 dff13 6004 . . . 4
138, 11, 12mpbir2an 887 . . 3
14 df-f1o 5461 . . 3
1513, 6, 14mpbir2an 887 . 2
16 alephord2 7957 . . . 4
17 epel 4497 . . . 4
18 fvex 5742 . . . . 5
1918epelc 4496 . . . 4
2016, 17, 193bitr4g 280 . . 3
2120rgen2a 2772 . 2
22 df-isom 5463 . 2
2315, 21, 22mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705   wss 3320   class class class wbr 4212   cep 4492  con0 4581  com 4845   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  wf1 5451  wfo 5452  wf1o 5453  cfv 5454   wiso 5455  ccrd 7822  cale 7823 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-har 7526  df-card 7826  df-aleph 7827
 Copyright terms: Public domain W3C validator