Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsuc2 Structured version   Unicode version

Theorem alephsuc2 7966
 Description: An alternate representation of a successor aleph. The aleph function is the function obtained from the hartogs 7516 function by transfinite recursion, starting from . Using this theorem we could define the aleph function with in place of in df-aleph 7832. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsuc2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem alephsuc2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephsucdom 7965 . . 3
21rabbidv 2950 . 2
3 alephon 7955 . . . . . . 7
43oneli 4692 . . . . . 6
5 alephcard 7956 . . . . . . . . 9
6 iscard 7867 . . . . . . . . 9
75, 6mpbi 201 . . . . . . . 8
87simpri 450 . . . . . . 7
98rspec 2772 . . . . . 6
104, 9jca 520 . . . . 5
11 sdomel 7257 . . . . . . 7
123, 11mpan2 654 . . . . . 6
1312imp 420 . . . . 5
1410, 13impbii 182 . . . 4
15 breq1 4218 . . . . 5
1615elrab 3094 . . . 4
1714, 16bitr4i 245 . . 3
1817eqriv 2435 . 2
192, 18syl6reqr 2489 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711   class class class wbr 4215  con0 4584   csuc 4586  cfv 5457   cdom 7110   csdm 7111  ccrd 7827  cale 7828 This theorem is referenced by:  alephsuc3  8460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-har 7529  df-card 7831  df-aleph 7832
 Copyright terms: Public domain W3C validator