Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsub Structured version   Unicode version

Theorem alexsub 18068
 Description: The Alexander Subbase Theorem: If is a subbase for the topology , and any cover taken from has a finite subcover, then the generated topology is compact. This proof uses the ultrafilter lemma; see alexsubALT 18074 for a proof using Zorn's lemma. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
alexsub.1 UFL
alexsub.2
alexsub.3
alexsub.4
Assertion
Ref Expression
alexsub
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem alexsub
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexsub.1 . . . . . . . . 9 UFL
21adantr 452 . . . . . . . 8 UFL
3 alexsub.2 . . . . . . . . 9
43adantr 452 . . . . . . . 8
5 alexsub.3 . . . . . . . . 9
65adantr 452 . . . . . . . 8
7 alexsub.4 . . . . . . . . 9
87adantlr 696 . . . . . . . 8
9 simprl 733 . . . . . . . 8
10 simprr 734 . . . . . . . 8
112, 4, 6, 8, 9, 10alexsublem 18067 . . . . . . 7
1211pm2.21i 125 . . . . . 6
1312expr 599 . . . . 5
1413pm2.01d 163 . . . 4
1615ralrimiva 2781 . 2
17 fibas 17034 . . . . . 6
18 tgtopon 17028 . . . . . 6 TopOn
1917, 18ax-mp 8 . . . . 5 TopOn
205, 19syl6eqel 2523 . . . 4 TopOn
21 elex 2956 . . . . . . . . . 10 UFL
221, 21syl 16 . . . . . . . . 9
233, 22eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8
24 uniexb 4744 . . . . . . . 8
2523, 24sylibr 204 . . . . . . 7
26 fiuni 7425 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
283, 27eqtrd 2467 . . . . 5
2928fveq2d 5724 . . . 4 TopOn TopOn
3020, 29eleqtrrd 2512 . . 3 TopOn
31 ufilcmp 18056 . . 3 UFL TopOn
321, 30, 31syl2anc 643 . 2
3316, 32mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cfi 7407  ctg 13657  TopOnctopon 16951  ctb 16954  ccmp 17441  cufil 17923  UFLcufl 17924   cflim 17958 This theorem is referenced by:  alexsubb  18069  ptcmplem5  18079 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cmp 17442  df-fil 17870  df-ufil 17925  df-ufl 17926  df-flim 17963  df-fcls 17965
 Copyright terms: Public domain W3C validator