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Theorem alexsubALTlem2 18079
Description: Lemma for alexsubALT 18082. Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALTlem2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, u, v, x, z, J    X, a, b, c, d, u, v, x, z

Proof of Theorem alexsubALTlem2
Dummy variables  n  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
2 elun 3488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/)
} ) )
3 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
a  C_  z  <->  a  C_  w ) )
4 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  ~P z  =  ~P w
)
54ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P w  i^i  Fin ) )
65raleqdv 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  ( A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b 
<-> 
A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
73, 6anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
87elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
9 elsn 3829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { (/) }  <->  w  =  (/) )
108, 9orbi12i 508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/) } )  <-> 
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
112, 10bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( (
w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
12 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
14 0ss 3656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  C_  ( fi `  x )
15 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  ( fi `  x )  <->  (/)  C_  ( fi `  x ) ) )
1614, 15mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1713, 16jaoi 369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1811, 17sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  w  C_  ( fi `  x
) )
191, 18syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  C_  ( fi `  x ) ) )
2019ralrimiv 2788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
21 unissb 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  C_  ( fi `  x )  <->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
2220, 21sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y )  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2423ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  C_  ( fi `  x ) )
25 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2625uniex 4705 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
2726elpw 3805 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  <->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2824, 27sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  e.  ~P ( fi `  x ) )
29 uni0b 4040 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  =  (/)  <->  y  C_  {
(/) } )
3029notbii 288 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  y  C_  { (/) } )
31 disjssun 3685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  y  C_  {
(/) } ) )
3231biimpcd 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  y  C_  {
(/) } ) )
3332necon3bd 2638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/) ) )
34 n0 3637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
35 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e. 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
368anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <-> 
( w  e.  y  /\  ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
3735, 36bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
38 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  w )
39 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  w  e.  y )
40 ssuni 4037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  C_  w  /\  w  e.  y )  ->  a  C_  U. y
)
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  U. y )
4237, 41sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y )
4342exlimiv 1644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y
)
4434, 43sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  ->  a  C_  U. y )
4533, 44syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  a  C_  U. y
) )
4645ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( -.  y  C_  {
(/) }  ->  a  C_  U. y ) )
4730, 46syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( -.  U. y  =  (/)  ->  a  C_  U. y ) )
4847imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  a  C_  U. y
)
49 elfpw 7408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  <->  ( n  C_ 
U. y  /\  n  e.  Fin ) )
50 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
51 uni0 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (/)  =  (/)
5250, 51syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
5352necon3bi 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  ->  y  =/=  (/) )
5554ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  y  =/=  (/) )
56 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  -> [ C.]  Or  y
)
57 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  e.  Fin )
58 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  C_  U. y
)
59 finsschain 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  /\  (
n  e.  Fin  /\  n  C_  U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w
)
6055, 56, 57, 58, 59syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
6160expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( n  C_  U. y  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
)
62 0elpw 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  ~P a
63 0fin 7336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  Fin
64 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P a  /\  (/)  e.  Fin )
)
6562, 63, 64mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
66 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  U. (/) )
6766eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  (/)  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. (/) ) )
6867notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. b  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
6968rspccv 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. (/) ) )
7065, 69mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  -.  X  =  U. (/) )
71 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  n  e. 
_V
7271elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  ~P w  <->  n  C_  w
)
73 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  <->  ( n  e.  ~P w  /\  n  e.  Fin ) )
74 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  n  ->  U. b  =  U. n )
7574eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  n  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. n ) )
7675notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  n  ->  ( -.  X  =  U. b 
<->  -.  X  =  U. n ) )
7776rspccv 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. n ) )
7873, 77syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( ( n  e. 
~P w  /\  n  e.  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
7978exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ~P w  ->  ( n  e. 
Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8072, 79syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8180com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8281ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  ( n  e. 
Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
84 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  <->  n  C_  (/) ) )
85 ss0 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n 
C_  (/)  ->  n  =  (/) )
8684, 85syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  ->  n  =  (/) ) )
87 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  (/)  ->  U. n  =  U. (/) )
8887eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  (/)  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. (/) ) )
8988notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. n  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
9089biimprcd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  -.  X  =  U. n
) )
9190a1dd 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) )
9286, 91syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9392com34 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9483, 93jaod 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
9511, 94syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
961, 95sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  e.  Fin  ->  (
n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9796com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9870, 97sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  /\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9998ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
10099imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  n  e.  Fin )  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
101100adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( w  e.  y  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
102101rexlimdv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( E. w  e.  y  n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) )
10361, 102syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( n  C_  U. y  ->  -.  X  =  U. n ) )
104103expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( n  e. 
Fin  ->  ( n  C_  U. y  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
105104com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( n  C_  U. y  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
106105imp3a 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( ( n 
C_  U. y  /\  n  e.  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
10749, 106syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
108107ralrimiv 2788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. n  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. n )
109 unieq 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  b  ->  U. n  =  U. b )
110109eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  b  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. b ) )
111110notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  b  ->  ( -.  X  =  U. n 
<->  -.  X  =  U. b ) )
112111cbvralv 2932 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n 
<-> 
A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )
113108, 112sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )
11428, 48, 113jca32 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
115114ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
116 orcom 377 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e. 
{ (/) } ) )
11726elsnc 3837 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { (/) }  <->  U. y  =  (/) )
118 sseq2 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( a  C_  z  <->  a 
C_  U. y ) )
119 pweq 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U. y  ->  ~P z  =  ~P U. y )
120119ineq1d 3541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ~P z  i^i 
Fin )  =  ( ~P U. y  i^i 
Fin ) )
121120raleqdv 2910 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b  <->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
122118, 121anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_ 
U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
123122elrab 3092 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
124117, 123orbi12i 508 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
125 df-or 360 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
126124, 125bitr2i 242 . . . . . 6  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( U. y  e.  { (/) }  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
127 elun 3488 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e.  { (/) } ) )
128116, 126, 1273bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  U. y  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )
129115, 128sylib 189 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  ->  U. y  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )
130129ex 424 . . 3  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  (
( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
131130alrimiv 1641 . 2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  A. y
( ( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
132 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( fi
`  x )  e. 
_V
133132pwex 4382 . . . . 5  |-  ~P ( fi `  x )  e. 
_V
134133rabex 4354 . . . 4  |-  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  e.  _V
135 p0ex 4386 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
136134, 135unex 4707 . . 3  |-  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  e.  _V
137136zorn 8387 . 2  |-  ( A. y ( ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y )  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) )  ->  E. u  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) A. v  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  -.  u  C.  v
)
138131, 137syl 16 1  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320    C. wpss 3321   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015    Or wor 4502   ` cfv 5454   [ C.] crpss 6521   Fincfn 7109   ficfi 7415   topGenctg 13665
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  18081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-rpss 6522  df-riota 6549  df-recs 6633  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-card 7826  df-ac 7997
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