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Theorem alexsubALTlem3 18073
Description: Lemma for alexsubALT 18075. If a point is covered by a collection taken from the base with no finite subcover, a set from the subbase can be added that covers the point so that the resulting collection has no finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALTlem3  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  u  /\  A. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  /\  w  e.  u
)  /\  ( (
t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) ) )  ->  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  {
s } )  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. n )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, n, s, t, u, w, x, y, J    X, a,
b, c, d, n, s, t, u, w, x, y

Proof of Theorem alexsubALTlem3
Dummy variables  f  m  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrex2 2711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  ( ~P ( u  u.  {
s } )  i^i 
Fin ) X  = 
U. n  <->  -.  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n )
21ralbii 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  t  E. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin ) X  =  U. n 
<-> 
A. s  e.  t  -.  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n )
3 ralnex 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  t  -.  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  {
s } )  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. n  <->  -.  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n )
42, 3bitr2i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
E. s  e.  t 
A. n  e.  ( ~P ( u  u. 
{ s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n  <->  A. s  e.  t  E. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin ) X  =  U. n )
5 elin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ~P (
u  u.  { s } )  i^i  Fin ) 
<->  ( n  e.  ~P ( u  u.  { s } )  /\  n  e.  Fin ) )
6 elpwi 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ~P ( u  u.  { s } )  ->  n  C_  (
u  u.  { s } ) )
76adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ~P (
u  u.  { s } )  /\  n  e.  Fin )  ->  n  C_  ( u  u.  {
s } ) )
8 uncom 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  u.  { s } )  =  ( { s }  u.  u
)
97, 8syl6sseq 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ~P (
u  u.  { s } )  /\  n  e.  Fin )  ->  n  C_  ( { s }  u.  u ) )
10 ssundif 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n 
C_  ( { s }  u.  u )  <-> 
( n  \  {
s } )  C_  u )
119, 10sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ~P (
u  u.  { s } )  /\  n  e.  Fin )  ->  (
n  \  { s } )  C_  u
)
12 diffi 7332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  Fin  ->  (
n  \  { s } )  e.  Fin )
1312adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ~P (
u  u.  { s } )  /\  n  e.  Fin )  ->  (
n  \  { s } )  e.  Fin )
1411, 13jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ~P (
u  u.  { s } )  /\  n  e.  Fin )  ->  (
( n  \  {
s } )  C_  u  /\  ( n  \  { s } )  e.  Fin ) )
155, 14sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ~P (
u  u.  { s } )  i^i  Fin )  ->  ( ( n 
\  { s } )  C_  u  /\  ( n  \  { s } )  e.  Fin ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ~P ( u  u.  {
s } )  i^i 
Fin )  /\  X  =  U. n )  -> 
( ( n  \  { s } ) 
C_  u  /\  (
n  \  { s } )  e.  Fin ) )
1716ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  ( ( n 
\  { s } )  C_  u  /\  ( n  \  { s } )  e.  Fin ) )
18 elin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  \  { s } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ( n  \  { s } )  e.  ~P u  /\  ( n  \  { s } )  e.  Fin ) )
19 vex 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  u  e. 
_V
2019elpw2 4357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  \  { s } )  e.  ~P u 
<->  ( n  \  {
s } )  C_  u )
2120anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  \  {
s } )  e. 
~P u  /\  (
n  \  { s } )  e.  Fin ) 
<->  ( ( n  \  { s } ) 
C_  u  /\  (
n  \  { s } )  e.  Fin ) )
2218, 21bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  \  {
s } )  C_  u  /\  ( n  \  { s } )  e.  Fin )  <->  ( n  \  { s } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
2317, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  ( n  \  { s } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
24 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  X  =  U. n )
25 eldif 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( n  \  { s } )  <-> 
( x  e.  n  /\  -.  x  e.  {
s } ) )
2625simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  n  ->  ( -.  x  e.  { s }  ->  x  e.  ( n  \  { s } ) ) )
27 elun 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( ( n 
\  { s } )  u.  { s } )  <->  ( x  e.  ( n  \  {
s } )  \/  x  e.  { s } ) )
28 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  { s }  \/  x  e.  ( n  \  {
s } ) )  <-> 
( x  e.  ( n  \  { s } )  \/  x  e.  { s } ) )
2927, 28bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ( n 
\  { s } )  u.  { s } )  <->  ( x  e.  { s }  \/  x  e.  ( n  \  { s } ) ) )
30 df-or 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  { s }  \/  x  e.  ( n  \  {
s } ) )  <-> 
( -.  x  e. 
{ s }  ->  x  e.  ( n  \  { s } ) ) )
3129, 30bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  x  e.  {
s }  ->  x  e.  ( n  \  {
s } ) )  <-> 
x  e.  ( ( n  \  { s } )  u.  {
s } ) )
3226, 31sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  n  ->  x  e.  ( ( n  \  { s } )  u.  { s } ) )
3332ssriv 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  C_  ( ( n  \  { s } )  u.  { s } )
34 uniss 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n 
C_  ( ( n 
\  { s } )  u.  { s } )  ->  U. n  C_ 
U. ( ( n 
\  { s } )  u.  { s } ) )
3533, 34mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. n  C_  U. (
( n  \  {
s } )  u. 
{ s } ) )
36 uniun 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. (
( n  \  {
s } )  u. 
{ s } )  =  ( U. (
n  \  { s } )  u.  U. { s } )
37 vex 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  s  e. 
_V
3837unisn 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. {
s }  =  s
3938uneq2i 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. ( n  \  { s } )  u.  U. { s } )  =  ( U. (
n  \  { s } )  u.  s
)
4036, 39eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. (
( n  \  {
s } )  u. 
{ s } )  =  ( U. (
n  \  { s } )  u.  s
)
4135, 40syl6sseq 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. n  C_  ( U. ( n  \  {
s } )  u.  s ) )
4224, 41eqsstrd 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  X  C_  ( U. ( n  \  {
s } )  u.  s ) )
43 difss 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n 
\  { s } )  C_  n
4443unissi 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (
n  \  { s } )  C_  U. n
45 sseq2 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X  =  U. n  -> 
( U. ( n 
\  { s } )  C_  X  <->  U. (
n  \  { s } )  C_  U. n
) )
4644, 45mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  U. n  ->  U. ( n  \  {
s } )  C_  X )
4746adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ~P ( u  u.  {
s } )  i^i 
Fin )  /\  X  =  U. n )  ->  U. ( n  \  {
s } )  C_  X )
4847ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. ( n  \  { s } ) 
C_  X )
49 inss1 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ~P x  i^i  Fin )  C_ 
~P x
5049sseli 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  ->  t  e.  ~P x )
5150elpwid 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  ->  t  C_  x )
5251ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )  ->  t  C_  x )
5352ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  t  C_  x
)
54 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  s  e.  t )
5553, 54sseldd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  s  e.  x
)
56 elssuni 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  x  ->  s  C_ 
U. x )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  s  C_  U. x
)
58 fibas 17035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
59 unitg 17025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( fi `  x )  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  U. ( fi
`  x ) )
6058, 59mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  U. ( fi
`  x ) )
61 unieq 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
62613ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
6362ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
64 vex 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
65 fiuni 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  _V  ->  U. x  =  U. ( fi `  x ) )
6664, 65mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. x  =  U. ( fi `  x ) )
6760, 63, 663eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. x  =  U. J )
68 alexsubALT.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  = 
U. J
6967, 68syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  U. x  =  X )
7057, 69sseqtrd 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  s  C_  X
)
7148, 70unssd 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  ( U. (
n  \  { s } )  u.  s
)  C_  X )
7242, 71eqssd 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  X  =  ( U. ( n  \  { s } )  u.  s ) )
73 unieq 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( n  \  { s } )  ->  U. m  =  U. ( n  \  { s } ) )
7473uneq1d 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  \  { s } )  ->  ( U. m  u.  s )  =  ( U. ( n  \  { s } )  u.  s ) )
7574eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( n  \  { s } )  ->  ( X  =  ( U. m  u.  s )  <->  X  =  ( U. ( n  \  { s } )  u.  s ) ) )
7675rspcev 3045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  \  {
s } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  X  =  ( U. (
n  \  { s } )  u.  s
) )  ->  E. m  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  =  ( U. m  u.  s ) )
7723, 72, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( s  e.  t  /\  ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n ) ) )  ->  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s
) )
7877expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  s  e.  t )  ->  ( ( n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  /\  X  =  U. n )  ->  E. m  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  =  ( U. m  u.  s ) ) )
7978exp3a 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  s  e.  t )  ->  ( n  e.  ( ~P ( u  u. 
{ s } )  i^i  Fin )  -> 
( X  =  U. n  ->  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s
) ) ) )
8079rexlimdv 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  s  e.  t )  ->  ( E. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin ) X  =  U. n  ->  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s
) ) )
8180ralimdva 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( A. s  e.  t  E. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin ) X  =  U. n  ->  A. s  e.  t  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s
) ) )
82 inss2 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P x  i^i  Fin )  C_ 
Fin
8382sseli 3337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  ->  t  e.  Fin )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  ->  t  e.  Fin )
85 unieq 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( f `  s )  ->  U. m  =  U. ( f `  s ) )
8685uneq1d 3493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( f `  s )  ->  ( U. m  u.  s
)  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) )
8786eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( f `  s )  ->  ( X  =  ( U. m  u.  s )  <->  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )
8887ac6sfi 7344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  A. s  e.  t  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s ) )  ->  E. f ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )
8988ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  Fin  ->  ( A. s  e.  t  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s )  ->  E. f ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) ) ) )
9084, 89syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  ->  ( A. s  e.  t  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s )  ->  E. f ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) ) ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  ->  ( A. s  e.  t  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s )  ->  E. f ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) ) ) )
9291ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( A. s  e.  t  E. m  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  ( U. m  u.  s )  ->  E. f
( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) ) )
93 ffvelrn 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  s  e.  t )  ->  ( f `  s )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
94 elin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  s )  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  <->  ( (
f `  s )  e.  ~P u  /\  (
f `  s )  e.  Fin ) )
95 elpwi 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  s )  e.  ~P u  -> 
( f `  s
)  C_  u )
9695adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f `  s
)  e.  ~P u  /\  ( f `  s
)  e.  Fin )  ->  ( f `  s
)  C_  u )
9794, 96sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  s )  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  ->  (
f `  s )  C_  u )
9893, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  s  e.  t )  ->  ( f `  s )  C_  u
)
9998ralrimiva 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  ->  A. s  e.  t  ( f `  s
)  C_  u )
100 iunss 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ s  e.  t  (
f `  s )  C_  u  <->  A. s  e.  t  ( f `  s
)  C_  u )
10199, 100sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  ->  U_ s  e.  t  ( f `  s
)  C_  u )
102101ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  U_ s  e.  t  ( f `  s
)  C_  u )
103 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  w  e.  u
)
104103snssd 3936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  { w }  C_  u )
105102, 104unssd 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  C_  u )
106 inss2 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
Fin
107106, 93sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  s  e.  t )  ->  ( f `  s )  e.  Fin )
108107ralrimiva 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  ->  A. s  e.  t  ( f `  s
)  e.  Fin )
109 iunfi 7387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  A. s  e.  t  ( f `  s )  e.  Fin )  ->  U_ s  e.  t 
( f `  s
)  e.  Fin )
11084, 108, 109syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )
)  ->  U_ s  e.  t  ( f `  s )  e.  Fin )
111110adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )
)  ->  U_ s  e.  t  ( f `  s )  e.  Fin )
112111adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )  /\  f : t --> ( ~P u  i^i  Fin ) )  ->  U_ s  e.  t  ( f `  s )  e.  Fin )
113112ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  U_ s  e.  t  ( f `  s
)  e.  Fin )
114 snfi 7180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w }  e.  Fin
115 unfi 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ s  e.  t  ( f `  s
)  e.  Fin  /\  { w }  e.  Fin )  ->  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e. 
Fin )
116113, 114, 115sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e. 
Fin )
117105, 116jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( ( U_ s  e.  t  (
f `  s )  u.  { w } ) 
C_  u  /\  ( U_ s  e.  t 
( f `  s
)  u.  { w } )  e.  Fin ) )
118 elin 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ s  e.  t  ( f `  s
)  u.  { w } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e. 
~P u  /\  ( U_ s  e.  t 
( f `  s
)  u.  { w } )  e.  Fin ) )
11919elpw2 4357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ s  e.  t  ( f `  s
)  u.  { w } )  e.  ~P u 
<->  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  C_  u )
120119anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e. 
~P u  /\  ( U_ s  e.  t 
( f `  s
)  u.  { w } )  e.  Fin ) 
<->  ( ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  C_  u  /\  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e. 
Fin ) )
121118, 120bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  C_  u  /\  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e. 
Fin )  <->  ( U_ s  e.  t  (
f `  s )  u.  { w } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
122117, 121sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) )
123 ralnex 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s )  <->  -.  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )
124123imbi2i 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  (
f `  s )
)  <->  ( v  e.  y  ->  -.  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) ) )
125124albii 1575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  <->  A. y
( v  e.  y  ->  -.  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) ) )
126 alinexa 1588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. y ( v  e.  y  ->  -.  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  <->  -.  E. y
( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s ) ) )
127125, 126bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -. 
E. y ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  <->  A. y
( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s ) ) )
128 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( s  =  z  ->  (
f `  s )  =  ( f `  z ) )
129128unieqd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( s  =  z  ->  U. (
f `  s )  =  U. ( f `  z ) )
130 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( s  =  z  ->  s  =  z )
131129, 130uneq12d 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( s  =  z  ->  ( U. ( f `  s
)  u.  s )  =  ( U. (
f `  z )  u.  z ) )
132131eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( s  =  z  ->  ( X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s )  <-> 
X  =  ( U. ( f `  z
)  u.  z ) ) )
133132rspcv 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s )  ->  X  =  ( U. ( f `  z )  u.  z
) ) )
134 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( X  =  ( U. (
f `  z )  u.  z )  ->  (
v  e.  X  <->  v  e.  ( U. ( f `  z )  u.  z
) ) )
135134biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( X  =  ( U. (
f `  z )  u.  z )  ->  (
v  e.  X  -> 
v  e.  ( U. ( f `  z
)  u.  z ) ) )
136 elun 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  e.  ( U. (
f `  z )  u.  z )  <->  ( v  e.  U. ( f `  z )  \/  v  e.  z ) )
137 eluni 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  e.  U. ( f `
 z )  <->  E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
f `  z )
) )
138137orbi1i 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( v  e.  U. (
f `  z )  \/  v  e.  z
)  <->  ( E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
f `  z )
)  \/  v  e.  z ) )
139 df-or 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( f `  z
) )  \/  v  e.  z )  <->  ( -.  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( f `  z
) )  ->  v  e.  z ) )
140 alinexa 1588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( A. w ( v  e.  w  ->  -.  w  e.  ( f `  z
) )  <->  -.  E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
f `  z )
) )
141140imbi1i 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( A. w ( v  e.  w  ->  -.  w  e.  ( f `  z ) )  -> 
v  e.  z )  <-> 
( -.  E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
f `  z )
)  ->  v  e.  z ) )
142139, 141bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( f `  z
) )  \/  v  e.  z )  <->  ( A. w ( v  e.  w  ->  -.  w  e.  ( f `  z
) )  ->  v  e.  z ) )
143136, 138, 1423bitri 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( v  e.  ( U. (
f `  z )  u.  z )  <->  ( A. w ( v  e.  w  ->  -.  w  e.  ( f `  z
) )  ->  v  e.  z ) )
144 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  =  w  ->  (
v  e.  y  <->  v  e.  w ) )
145 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( f `
 s )  <->  w  e.  ( f `  s
) ) )
146145notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  y  e.  (
f `  s )  <->  -.  w  e.  ( f `
 s ) ) )
147146ralbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  =  w  ->  ( A. s  e.  t  -.  y  e.  (
f `  s )  <->  A. s  e.  t  -.  w  e.  ( f `
 s ) ) )
148144, 147imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( y  =  w  ->  (
( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s ) )  <->  ( v  e.  w  ->  A. s  e.  t  -.  w  e.  ( f `  s
) ) ) )
149148spv 1965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  (
v  e.  w  ->  A. s  e.  t  -.  w  e.  (
f `  s )
) )
150128eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( s  =  z  ->  (
w  e.  ( f `
 s )  <->  w  e.  ( f `  z
) ) )
151150notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( s  =  z  ->  ( -.  w  e.  (
f `  s )  <->  -.  w  e.  ( f `
 z ) ) )
152151rspcv 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. s  e.  t  -.  w  e.  (
f `  s )  ->  -.  w  e.  ( f `  z ) ) )
153149, 152syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  (
v  e.  w  ->  -.  w  e.  (
f `  z )
) ) )
154153alrimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  A. w
( v  e.  w  ->  -.  w  e.  ( f `  z ) ) ) )
155154imim1d 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  t  ->  (
( A. w ( v  e.  w  ->  -.  w  e.  (
f `  z )
)  ->  v  e.  z )  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  z ) ) )
156143, 155syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  e.  t  ->  (
v  e.  ( U. ( f `  z
)  u.  z )  ->  ( A. y
( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s ) )  ->  v  e.  z ) ) )
157156a1dd 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  t  ->  (
v  e.  ( U. ( f `  z
)  u.  z )  ->  ( w  = 
|^| t  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  z ) ) ) )
158135, 157syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  t  ->  ( X  =  ( U. ( f `  z
)  u.  z )  ->  ( v  e.  X  ->  ( w  =  |^| t  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  z ) ) ) ) )
159133, 158syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s )  ->  ( v  e.  X  ->  ( w  =  |^| t  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  z ) ) ) ) )
160159com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  |^| t  -> 
( A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
)  ->  ( v  e.  X  ->  ( z  e.  t  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  z ) ) ) ) )
161160imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  (
z  e.  t  -> 
( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  (
f `  s )
)  ->  v  e.  z ) ) )
162161com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  (
z  e.  t  -> 
v  e.  z ) ) )
163162ralrimdv 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  A. z  e.  t  v  e.  z ) )
164 vex 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  v  e. 
_V
165164elint2 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  e.  |^| t  <->  A. z  e.  t  v  e.  z )
166163, 165syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  |^| t ) )
167 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  |^| t  -> 
( v  e.  w  <->  v  e.  |^| t ) )
168167ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  (
v  e.  w  <->  v  e.  |^| t ) )
169166, 168sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  ( A. y ( v  e.  y  ->  A. s  e.  t  -.  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  w ) )
170127, 169syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  ( -.  E. y ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  ->  v  e.  w ) )
171170orrd 368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  /\  v  e.  X )  ->  ( E. y ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  \/  v  e.  w ) )
172171ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) )  ->  ( v  e.  X  ->  ( E. y ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  \/  v  e.  w ) ) )
173 orc 375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s )  ->  ( E. s  e.  t 
y  e.  ( f `
 s )  \/  y  =  w ) )
174173anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s ) )  -> 
( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
)  \/  y  =  w ) ) )
175174eximi 1585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. y ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  ->  E. y
( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
)  \/  y  =  w ) ) )
176 equid 1688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  w  =  w
177 vex 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  w  e. 
_V
178 equequ1 1696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  w  ->  (
y  =  w  <->  w  =  w ) )
179144, 178anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  w  ->  (
( v  e.  y  /\  y  =  w )  <->  ( v  e.  w  /\  w  =  w ) ) )
180177, 179spcev 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  =  w )  ->  E. y ( v  e.  y  /\  y  =  w ) )
181176, 180mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  w  ->  E. y
( v  e.  y  /\  y  =  w ) )
182 olc 374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  w  ->  ( E. s  e.  t 
y  e.  ( f `
 s )  \/  y  =  w ) )
183182anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  y  /\  y  =  w )  ->  ( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
)  \/  y  =  w ) ) )
184183eximi 1585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. y ( v  e.  y  /\  y  =  w )  ->  E. y
( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
)  \/  y  =  w ) ) )
185181, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  w  ->  E. y
( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
)  \/  y  =  w ) ) )
186175, 185jaoi 369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E. y ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  \/  v  e.  w )  ->  E. y
( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
)  \/  y  =  w ) ) )
187 eluni 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  U. ( U_ s  e.  t  (
f `  s )  u.  { w } )  <->  E. y ( v  e.  y  /\  y  e.  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) ) )
188 elun 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  <->  ( y  e.  U_ s  e.  t  ( f `  s
)  \/  y  e. 
{ w } ) )
189 eliun 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  U_ s  e.  t  ( f `  s )  <->  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )
190 elsn 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  { w }  <->  y  =  w )
191189, 190orbi12i 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  U_ s  e.  t  ( f `  s )  \/  y  e.  { w } )  <-> 
( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s )  \/  y  =  w ) )
192188, 191bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  <->  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
)  \/  y  =  w ) )
193192anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  y  /\  y  e.  ( U_ s  e.  t  (
f `  s )  u.  { w } ) )  <->  ( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s )  \/  y  =  w ) ) )
194193exbii 1592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. y ( v  e.  y  /\  y  e.  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) )  <->  E. y ( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s )  \/  y  =  w ) ) )
195187, 194bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. y ( v  e.  y  /\  ( E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s )  \/  y  =  w ) )  <->  v  e.  U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) )
196186, 195sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E. y ( v  e.  y  /\  E. s  e.  t  y  e.  ( f `  s
) )  \/  v  e.  w )  ->  v  e.  U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) )
197172, 196syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  =  |^| t  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) )  ->  ( v  e.  X  ->  v  e. 
U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) ) )
198197adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) )  -> 
( v  e.  X  ->  v  e.  U. ( U_ s  e.  t 
( f `  s
)  u.  { w } ) ) )
199198adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) )  -> 
( v  e.  X  ->  v  e.  U. ( U_ s  e.  t 
( f `  s
)  u.  { w } ) ) )
200199adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) )  ->  ( v  e.  X  ->  v  e. 
U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) ) )
201200ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( v  e.  X  ->  v  e.  U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) ) )
202201ssrdv 3347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  X  C_  U. ( U_ s  e.  t 
( f `  s
)  u.  { w } ) )
203 elun 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  <->  ( v  e.  U_ s  e.  t  ( f `  s
)  \/  v  e. 
{ w } ) )
204 eliun 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  U_ s  e.  t  ( f `  s )  <->  E. s  e.  t  v  e.  ( f `  s
) )
205 elsn 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  { w }  <->  v  =  w )
206204, 205orbi12i 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  U_ s  e.  t  ( f `  s )  \/  v  e.  { w } )  <-> 
( E. s  e.  t  v  e.  ( f `  s )  \/  v  =  w ) )
207203, 206bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  <->  ( E. s  e.  t  v  e.  ( f `  s
)  \/  v  =  w ) )
208 nfra1 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ s A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s )
209 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ s  v  C_  X
210 rsp 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s )  ->  (
s  e.  t  ->  X  =  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) ) )
211 eqimss2 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s )  ->  ( U. ( f `  s
)  u.  s ) 
C_  X )
212 elssuni 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  ( f `  s )  ->  v  C_ 
U. ( f `  s ) )
213 ssun3 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v 
C_  U. ( f `  s )  ->  v  C_  ( U. ( f `
 s )  u.  s ) )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( f `  s )  ->  v  C_  ( U. ( f `
 s )  u.  s ) )
215 sstr 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  C_  ( U. ( f `  s
)  u.  s )  /\  ( U. (
f `  s )  u.  s )  C_  X
)  ->  v  C_  X )
216215expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U. ( f `  s )  u.  s
)  C_  X  ->  ( v  C_  ( U. ( f `  s
)  u.  s )  ->  v  C_  X
) )
217211, 214, 216syl2im 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s )  ->  (
v  e.  ( f `
 s )  -> 
v  C_  X )
)
218210, 217syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s )  ->  (
s  e.  t  -> 
( v  e.  ( f `  s )  ->  v  C_  X
) ) )
219208, 209, 218rexlimd 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s )  ->  ( E. s  e.  t 
v  e.  ( f `
 s )  -> 
v  C_  X )
)
220219ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( E. s  e.  t  v  e.  ( f `  s
)  ->  v  C_  X ) )
221 elpwi 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  e.  ~P ( fi
`  x )  ->  u  C_  ( fi `  x ) )
222221ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  ->  u  C_  ( fi `  x
) )
223222ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  u  C_  ( fi `  x ) )
224223, 103sseldd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  w  e.  ( fi `  x ) )
225 elssuni 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( fi `  x )  ->  w  C_ 
U. ( fi `  x ) )
226224, 225syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  w  C_  U. ( fi `  x ) )
22758, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  x ) )  = 
U. ( fi `  x )
22861, 227syl6req 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  U. ( fi `  x )  =  U. J )
229228, 68syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  U. ( fi `  x )  =  X )
2302293ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  ->  U. ( fi `  x
)  =  X )
231230ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  U. ( fi `  x )  =  X )
232226, 231sseqtrd 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  w  C_  X
)
233 sseq1 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  w  ->  (
v  C_  X  <->  w  C_  X
) )
234232, 233syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( v  =  w  ->  v  C_  X ) )
235220, 234jaod 370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( ( E. s  e.  t  v  e.  ( f `  s )  \/  v  =  w )  ->  v  C_  X ) )
236207, 235syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  ( v  e.  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  -> 
v  C_  X )
)
237236ralrimiv 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  A. v  e.  (
U_ s  e.  t  ( f `  s
)  u.  { w } ) v  C_  X )
238 unissb 4038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s
)  u.  { w } )  C_  X  <->  A. v  e.  ( U_ s  e.  t  (
f `  s )  u.  { w } ) v  C_  X )
239237, 238sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  C_  X )
240202, 239eqssd 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  X  =  U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s
)  u.  { w } ) )
241 unieq 4017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  ->  U. b  =  U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s
)  u.  { w } ) )
242241eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  -> 
( X  =  U. b 
<->  X  =  U. ( U_ s  e.  t 
( f `  s
)  u.  { w } ) ) )
243242rspcev 3045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  X  =  U. ( U_ s  e.  t  ( f `  s )  u.  {
w } ) )  ->  E. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. b )
244122, 240, 243syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  /\  w  e.  u ) )  /\  ( f : t --> ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. b )
245244ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( (
f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. ( f `  s )  u.  s
) )  ->  E. b  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) )
246245exlimdv 1646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( E. f ( f : t --> ( ~P u  i^i  Fin )  /\  A. s  e.  t  X  =  ( U. (
f `  s )  u.  s ) )  ->  E. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
24781, 92, 2463syld 53 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( A. s  e.  t  E. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin ) X  =  U. n  ->  E. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
2484, 247syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( -.  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n  ->  E. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
249 dfrex2 2711 . . . . . . . 8  |-  ( E. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. b  <->  -. 
A. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )
250248, 249syl6ib 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( -.  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n  ->  -.  A. b  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )
251250con4d 99 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  /\  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  /\  w  e.  u )
)  ->  ( A. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  E. s  e.  t 
A. n  e.  ( ~P ( u  u. 
{ s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n
) )
252251exp32 589 . . . . 5  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P x  i^i 
Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  -> 
( w  e.  u  ->  ( A. b  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b  ->  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n ) ) ) )
253252com24 83 . . . 4  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  a  C_  u
) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( w  e.  u  ->  ( (
( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  ->  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n ) ) ) )
254253exp32 589 . . 3  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  -> 
( u  e.  ~P ( fi `  x )  ->  ( a  C_  u  ->  ( A. b  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b  ->  (
w  e.  u  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  ( y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. ( x  i^i  u
) ) )  ->  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  {
s } )  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. n ) ) ) ) ) )
255254imp45 581 . 2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  ( u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  u  /\  A. b  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  ( w  e.  u  ->  ( ( ( t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) )  ->  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  { s } )  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n ) ) )
256255imp31 422 1  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  (
u  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  u  /\  A. b  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  /\  w  e.  u
)  /\  ( (
t  e.  ( ~P x  i^i  Fin )  /\  w  =  |^| t )  /\  (
y  e.  w  /\  -.  y  e.  U. (
x  i^i  u )
) ) )  ->  E. s  e.  t  A. n  e.  ( ~P ( u  u.  {
s } )  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. n )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   E.wrex 2699   _Vcvv 2949    \ cdif 3310    u. cun 3311    i^i cin 3312    C_ wss 3313   ~Pcpw 3792   {csn 3807   U.cuni 4008   |^|cint 4043   U_ciun 4086   -->wf 5443   ` cfv 5447   Fincfn 7102   ficfi 7408   topGenctg 13658   TopBasesctb 16955
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  18074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-fin 7106  df-fi 7409  df-topgen 13660  df-bases 16958
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