Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubb Structured version   Unicode version

Theorem alexsubb 18079
 Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 18078. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb UFL
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5
21iscmp 17453 . . . 4
32simprbi 452 . . 3
4 simpr 449 . . . . . . . . . . 11 UFL
5 elex 2966 . . . . . . . . . . . 12 UFL
65adantr 453 . . . . . . . . . . 11 UFL
74, 6eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10 UFL
8 uniexb 4754 . . . . . . . . . 10
97, 8sylibr 205 . . . . . . . . 9 UFL
10 fiuni 7435 . . . . . . . . 9
119, 10syl 16 . . . . . . . 8 UFL
12 fibas 17044 . . . . . . . . 9
13 unitg 17034 . . . . . . . . 9
1412, 13mp1i 12 . . . . . . . 8 UFL
1511, 4, 143eqtr4d 2480 . . . . . . 7 UFL
1615eqeq1d 2446 . . . . . 6 UFL
1715eqeq1d 2446 . . . . . . 7 UFL
1817rexbidv 2728 . . . . . 6 UFL
1916, 18imbi12d 313 . . . . 5 UFL
2019ralbidv 2727 . . . 4 UFL
21 ssfii 7426 . . . . . . . 8
229, 21syl 16 . . . . . . 7 UFL
23 bastg 17033 . . . . . . . 8
2412, 23ax-mp 8 . . . . . . 7
2522, 24syl6ss 3362 . . . . . 6 UFL
26 sspwb 4415 . . . . . 6
2725, 26sylib 190 . . . . 5 UFL
28 ssralv 3409 . . . . 5
2927, 28syl 16 . . . 4 UFL
3020, 29sylbird 228 . . 3 UFL
313, 30syl5 31 . 2 UFL
32 simpll 732 . . . 4 UFL UFL
33 simplr 733 . . . 4 UFL
34 eqidd 2439 . . . 4 UFL
35 vex 2961 . . . . . . . 8
3635elpw 3807 . . . . . . 7
37 unieq 4026 . . . . . . . . . . 11
3837eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10
39 pweq 3804 . . . . . . . . . . . 12
4039ineq1d 3543 . . . . . . . . . . 11
4140rexeqdv 2913 . . . . . . . . . 10
4238, 41imbi12d 313 . . . . . . . . 9
4342rspccv 3051 . . . . . . . 8
4443adantl 454 . . . . . . 7 UFL
4536, 44syl5bir 211 . . . . . 6 UFL
4645imp32 424 . . . . 5 UFL
47 unieq 4026 . . . . . . 7
4847eqeq2d 2449 . . . . . 6
4948cbvrexv 2935 . . . . 5
5046, 49sylib 190 . . . 4 UFL
5132, 33, 34, 50alexsub 18078 . . 3 UFL
5251ex 425 . 2 UFL
5331, 52impbid 185 1 UFL
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017  cfv 5456  cfn 7111  cfi 7417  ctg 13667  ctop 16960  ctb 16964  ccmp 17451  UFLcufl 17934 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-topgen 13669  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-cmp 17452  df-fil 17880  df-ufil 17935  df-ufl 17936  df-flim 17973  df-fcls 17975
 Copyright terms: Public domain W3C validator