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Theorem alexsubb 17756
Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 17755. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, X, y

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )
21iscmp 17131 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  B ) )  e. 
Comp 
<->  ( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Top  /\  A. x  e.  ~P  ( topGen `
 ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. y ) ) )
32simprbi 450 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  B ) )  e. 
Comp  ->  A. x  e.  ~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. y ) )
4 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  =  U. B )
5 elex 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e. UFL  ->  X  e.  _V )
65adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  e.  _V )
74, 6eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. B  e.  _V )
8 uniexb 4579 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
97, 8sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  e.  _V )
10 fiuni 7197 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
12 fibas 16731 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  B )  e.  TopBases
13 unitg 16721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. ( fi
`  B ) )
1412, 13mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. ( fi `  B ) )
1511, 4, 143eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  =  U. ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
1615eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( X  =  U. x 
<-> 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x ) )
1715eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( X  =  U. y 
<-> 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y ) )
1817rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y  <->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. y ) )
1916, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )  <->  ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. y ) ) )
2019ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  <->  A. x  e.  ~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B
) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y ) ) )
21 ssfii 7188 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( fi `  B
) )
229, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( fi `  B ) )
23 bastg 16720 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  ( fi `  B )  C_  ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
2412, 23ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  B ) )
2522, 24syl6ss 3204 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( topGen `  ( fi `  B ) ) )
26 sspwb 4239 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  ( fi `  B ) )  <->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
2725, 26sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
28 ssralv 3250 . . . . 5  |-  ( ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
2927, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
3020, 29sylbird 226 . . 3  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B
) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
313, 30syl5 28 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
32 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  X  e. UFL )
33 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  X  =  U. B )
34 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  B ) )  =  ( topGen `  ( fi `  B ) ) )
35 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
3635elpw 3644 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~P B  <->  z  C_  B )
37 unieq 3852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  U. x  =  U. z )
3837eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( X  =  U. x  <->  X  =  U. z ) )
39 pweq 3641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ~P x  =  ~P z
)
4039ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( ~P x  i^i  Fin )  =  ( ~P z  i^i  Fin ) )
4140rexeqdv 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )
4238, 41imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  <->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
4342rspccv 2894 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  (
z  e.  ~P B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4443adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  (
z  e.  ~P B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4536, 44syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  (
z  C_  B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4645imp32 422 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y ) )  /\  ( z  C_  B  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y
)
47 unieq 3852 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  U. y  =  U. w )
4847eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. w ) )
4948cbvrexv 2778 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. w  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. w
)
5046, 49sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y ) )  /\  ( z  C_  B  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. w  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. w
)
5132, 33, 34, 50alexsub 17755 . . 3  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  B ) )  e. 
Comp )
5251ex 423 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
)  ->  ( topGen `  ( fi `  B
) )  e.  Comp ) )
5331, 52impbid 183 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Fincfn 6879   ficfi 7180   topGenctg 13358   Topctop 16647   TopBasesctb 16651   Compccmp 17129  UFLcufl 17611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cmp 17130  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-ufil 17612  df-ufl 17613  df-flim 17650  df-fcls 17652
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