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Theorem alexsublem 18067
Description: Lemma for alexsub 18068. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
alexsub.1  |-  ( ph  ->  X  e. UFL )
alexsub.2  |-  ( ph  ->  X  =  U. B
)
alexsub.3  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
alexsub.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  B  /\  X  = 
U. x ) )  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )
alexsub.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
alexsub.6  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  F
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
alexsublem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    x, y, B    x, J, y    ph, x, y    x, X, y    x, F, y

Proof of Theorem alexsublem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  U. ( B  \  F
) )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )
2 alexsub.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
32eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  <->  y  e.  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ) )
43anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  /\  x  e.  y )  <->  ( y  e.  ( topGen `  ( fi `  B ) )  /\  x  e.  y )
) )
54biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
( y  e.  (
topGen `  ( fi `  B ) )  /\  x  e.  y )
)
65adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
( y  e.  (
topGen `  ( fi `  B ) )  /\  x  e.  y )
)
7 tg2 17022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( topGen `  ( fi `  B
) )  /\  x  e.  y )  ->  E. z  e.  ( fi `  B
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. z  e.  ( fi `  B ) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )
9 alexsub.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
10 ufilfil 17928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
1211ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
13 alexsub.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  X  =  U. B
)
149elfvexd 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
1513, 14eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  U. B  e.  _V )
16 uniexb 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1715, 16sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
18 elfi2 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  _V  ->  (
z  e.  ( fi
`  B )  <->  E. y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( fi `  B )  <->  E. y  e.  (
( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
2019adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( z  e.  ( fi `  B
)  <->  E. y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
2111ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
22 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  ->  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) )
23 intss1 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  y  ->  |^| y  C_  z )
2423adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )  ->  |^| y  C_  z
)
25 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )  ->  x  e.  |^| y
)
2624, 25sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )  ->  x  e.  z )
2726ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  x  e.  z )
28 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  =/=  (/) ) )
2928simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
3029ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
31 elfpw 7400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  B  /\  y  e. 
Fin ) )
3231simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  y  C_  B )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  C_  B )
3433sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  B )
3534anasss 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  B )
3635anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  (
z  e.  B  /\  -.  z  e.  F
) )
37 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  ( B  \  F )  <->  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  F ) )
3836, 37sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  z  e.  ( B  \  F
) )
39 elunii 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  z  /\  z  e.  ( B  \  F ) )  ->  x  e.  U. ( B  \  F ) )
4027, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  x  e.  U. ( B  \  F ) )
4140ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  -> 
( -.  z  e.  F  ->  x  e.  U. ( B  \  F
) ) )
4222, 41mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  F )
4342expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  F ) )
4443ssrdv 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  C_  F )
4528simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
4645ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  =/=  (/) )
4731simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
4830, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  e.  Fin )
49 elfir 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  C_  F  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin ) )  ->  |^| y  e.  ( fi `  F ) )
5021, 44, 46, 48, 49syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  |^| y  e.  ( fi `  F
) )
51 filfi 17883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( fi `  F )  =  F )
5221, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  ( fi `  F )  =  F )
5350, 52eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  |^| y  e.  F )
5453expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( x  e.  |^| y  ->  |^| y  e.  F
) )
55 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  |^| y
) )
56 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( z  e.  F  <->  |^| y  e.  F ) )
5755, 56imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( ( x  e.  z  ->  z  e.  F )  <->  ( x  e.  |^| y  ->  |^| y  e.  F ) ) )
5854, 57syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( z  =  |^| y  ->  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
5958rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y  ->  (
x  e.  z  -> 
z  e.  F ) ) )
6020, 59sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( z  e.  ( fi `  B
)  ->  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
6160imp32 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( z  e.  ( fi `  B )  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  e.  F )
6261adantrrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( z  e.  ( fi `  B )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  e.  F )
6362adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  e.  F
)
64 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
6564ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  U. J )
66 fibas 17034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( fi
`  B )  e.  TopBases
67 tgtopon 17028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  B ) ) )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( topGen `  ( fi `  B
) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  B ) )
692, 68syl6eqel 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. ( fi `  B
) ) )
70 fiuni 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
7117, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
7213, 71eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( fi `  B ) )
7372fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi
`  B ) ) )
7469, 73eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
75 toponuni 16984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
7776ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  X  =  U. J )
7865, 77sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  X )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  C_  X
)
80 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  C_  y
)
81 filss 17877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
z  e.  F  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
8212, 63, 79, 80, 81syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  e.  F
)
838, 82rexlimddv 2826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  e.  F )
8483expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  y  -> 
y  e.  F ) )
8584ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
8685expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  x  e.  U. ( B  \  F )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) )
8786imdistanda 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) )  -> 
( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
881, 87syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  ->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
89 flimopn 17999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9074, 11, 89syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  -> 
y  e.  F ) ) ) )
9188, 90sylibrd 226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F )
) )
9291ssrdv 3346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  C_  ( J  fLim  F ) )
93 alexsub.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  F
)  =  (/) )
94 sseq0 3651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  \  U. ( B  \  F ) )  C_  ( J  fLim  F )  /\  ( J  fLim  F )  =  (/) )  ->  ( X 
\  U. ( B  \  F ) )  =  (/) )
9592, 93, 94syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  =  (/) )
96 ssdif0 3678 . . . . . 6  |-  ( X 
C_  U. ( B  \  F )  <->  ( X  \ 
U. ( B  \  F ) )  =  (/) )
9795, 96sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( B  \  F ) )
98 difss 3466 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  F )  C_  B
9998unissi 4030 . . . . . 6  |-  U. ( B  \  F )  C_  U. B
10099, 13syl5sseqr 3389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( B  \  F )  C_  X
)
10197, 100eqssd 3357 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( B  \  F ) )
102101, 98jctil 524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )
103 difexg 4343 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  F )  e. 
_V )
10417, 103syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  \  F
)  e.  _V )
105104adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( B  \  F )  e. 
_V )
106 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
x  C_  B  <->  ( B  \  F )  C_  B
) )
107 unieq 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  U. x  =  U. ( B  \  F ) )
108107eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ( X  =  U. x  <->  X  =  U. ( B 
\  F ) ) )
109106, 108anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
( x  C_  B  /\  X  =  U. x )  <->  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) ) )
110109anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
( ph  /\  (
x  C_  B  /\  X  =  U. x
) )  <->  ( ph  /\  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) ) ) )
111 pweq 3794 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ~P x  =  ~P ( B  \  F ) )
112111ineq1d 3533 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ( ~P x  i^i  Fin )  =  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin ) )
113112rexeqdv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ( E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. y  e.  ( ~P ( B  \  F
)  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )
114110, 113imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
( ( ph  /\  ( x  C_  B  /\  X  =  U. x
) )  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )  <->  ( ( ph  /\  ( ( B 
\  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
115 alexsub.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  B  /\  X  = 
U. x ) )  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )
116114, 115vtoclg 3003 . . . 4  |-  ( ( B  \  F )  e.  _V  ->  (
( ph  /\  (
( B  \  F
)  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) )
117105, 116mpcom 34 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )
118102, 117mpdan 650 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) X  =  U. y )
119 unieq 4016 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
120 uni0 4034 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
121119, 120syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
122121neeq2d 2612 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( X  =/=  U. y  <->  X  =/=  (/) ) )
123 difssd 3467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  ( X  \  z )  C_  X )
124123ralrimivw 2782 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  A. z  e.  y  ( X  \  z )  C_  X
)
125 riinn0 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  y  ( X  \  z
)  C_  X  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )
126124, 125sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )
12714ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  X  e.  _V )
128 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  z )  e. 
_V )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  \  z )  e. 
_V )
130129ralrimivw 2782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  A. z  e.  y  ( X  \  z )  e.  _V )
131 dfiin2g 4116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  ( X  \  z )  e. 
_V  ->  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
)  =  |^| { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X 
\  z ) } )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z )  =  |^| { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X  \  z
) } )
133 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  =  ( z  e.  y  |->  ( X  \ 
z ) )
134133rnmpt 5108 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
z  e.  y  |->  ( X  \  z ) )  =  { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X 
\  z ) }
135134inteqi 4046 . . . . . . . . . 10  |-  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  |^| { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X  \  z
) }
136132, 135syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z )  =  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) ) )
137126, 136eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) ) )
13811ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
139 elfpw 7400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin )  <->  ( y  C_  ( B  \  F
)  /\  y  e.  Fin ) )
140139simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin )  ->  y  C_  ( B  \  F
) )
141140ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  C_  ( B  \  F
) )
142141sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  ( B 
\  F ) )
143142eldifbd 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  -.  z  e.  F
)
1449ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
145141difss2d 3469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  C_  B )
146145sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  B )
147 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  B  ->  z  C_ 
U. B )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  C_  U. B )
14913ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  X  =  U. B
)
150148, 149sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  C_  X )
151 ufilb 17930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  z  C_  X )  ->  ( -.  z  e.  F  <->  ( X  \  z )  e.  F ) )
152144, 150, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  e.  F  <->  ( X  \ 
z )  e.  F
) )
153143, 152mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  ( X  \  z
)  e.  F )
154153, 133fmptd 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  y  |->  ( X  \  z ) ) : y --> F )
155 frn 5589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( X  \  z ) ) : y --> F  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) ) 
C_  F )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  C_  F
)
157 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( X  \  z ) ) : y --> F  ->  dom  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  =  y )
158154, 157syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  y )
159 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =/=  (/) )
160158, 159eqnetrd 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
161 dm0rn0 5078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  (/)  <->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  (/) )
162161necon3bii 2630 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  =/=  (/) )
163160, 162sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
164139simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin )  ->  y  e.  Fin )
165164ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  e.  Fin )
166 abrexfi 7399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  ->  { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X 
\  z ) }  e.  Fin )
167134, 166syl5eqel 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  e.  Fin )
168165, 167syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  e.  Fin )
169 filintn0 17885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  C_  F  /\  ran  ( z  e.  y  |->  ( X  \ 
z ) )  =/=  (/)  /\  ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  e.  Fin ) )  ->  |^| ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  =/=  (/) )
170138, 156, 163, 168, 169syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
171137, 170eqnetrd 2616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
172 disj3 3664 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )  =  (/) 
<->  X  =  ( X 
\  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) ) )
173172necon3bii 2630 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )  =/=  (/) 
<->  X  =/=  ( X 
\  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) ) )
174171, 173sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  X  =/=  ( X  \  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) ) )
175 iundif2 4150 . . . . . . 7  |-  U_ z  e.  y  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  ( X  \  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )
176 dfss4 3567 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  z )
177150, 176sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  ( X  \  ( X  \  z ) )  =  z )
178177iuneq2dv 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  U_ z  e.  y  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  U_ z  e.  y  z
)
179 uniiun 4136 . . . . . . . 8  |-  U. y  =  U_ z  e.  y  z
180178, 179syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  U_ z  e.  y  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  U. y )
181175, 180syl5eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  \  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  U. y )
182174, 181neeqtrd 2620 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  X  =/=  U. y )
18311adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
184 filtop 17879 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
185 fileln0 17874 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  X  e.  F )  ->  X  =/=  (/) )
186184, 185mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =/=  (/) )
187183, 186syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  X  =/=  (/) )
188122, 182, 187pm2.61ne 2673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  X  =/=  U. y )
189188neneqd 2614 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  -.  X  =  U. y
)
190189nrexdv 2801 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )
191118, 190pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007   |^|cint 4042   U_ciun 4085   |^|_ciin 4086    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   ficfi 7407   topGenctg 13657  TopOnctopon 16951   TopBasesctb 16954   Filcfil 17869   UFilcufil 17923  UFLcufl 17924    fLim cflim 17958
This theorem is referenced by:  alexsub  18068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-fbas 16691  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-fil 17870  df-ufil 17925  df-flim 17963
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