Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvg Structured version   Unicode version

Theorem algcvg 13072
 Description: One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function whose value is guaranteed to decrease for each iteration of until it reaches . That is, if is not a fixed point of , then . If is a countdown function for algorithm , the sequence reaches after at most steps, where is the value of for the initial state . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvg.1
algcvg.2
algcvg.3
algcvg.4
algcvg.5
Assertion
Ref Expression
algcvg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem algcvg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10525 . . . 4
2 algcvg.2 . . . 4
3 0z 10298 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 id 21 . . . 4
6 algcvg.1 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
81, 2, 4, 5, 7algrf 13069 . . 3
9 algcvg.5 . . . 4
10 algcvg.3 . . . . 5
1110ffvelrni 5872 . . . 4
129, 11syl5eqel 2522 . . 3
13 fvco3 5803 . . 3
148, 12, 13syl2anc 644 . 2
15 fco 5603 . . . 4
1610, 8, 15sylancr 646 . . 3
17 0nn0 10241 . . . . . 6
18 fvco3 5803 . . . . . 6
198, 17, 18sylancl 645 . . . . 5
201, 2, 4, 5algr0 13068 . . . . . 6
2120fveq2d 5735 . . . . 5
2219, 21eqtrd 2470 . . . 4
2322, 9syl6reqr 2489 . . 3
248ffvelrnda 5873 . . . . 5
25 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
2625fveq2d 5735 . . . . . . . 8
2726neeq1d 2616 . . . . . . 7
28 fveq2 5731 . . . . . . . 8
2926, 28breq12d 4228 . . . . . . 7
3027, 29imbi12d 313 . . . . . 6
31 algcvg.4 . . . . . 6
3230, 31vtoclga 3019 . . . . 5
3324, 32syl 16 . . . 4
34 peano2nn0 10265 . . . . . . 7
35 fvco3 5803 . . . . . . 7
368, 34, 35syl2an 465 . . . . . 6
371, 2, 4, 5, 7algrp1 13070 . . . . . . 7
3837fveq2d 5735 . . . . . 6
3936, 38eqtrd 2470 . . . . 5
4039neeq1d 2616 . . . 4
41 fvco3 5803 . . . . . 6
428, 41sylan 459 . . . . 5
4339, 42breq12d 4228 . . . 4
4433, 40, 433imtr4d 261 . . 3
4516, 23, 44nn0seqcvgd 13066 . 2
4614, 45eqtr3d 2472 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  csn 3816   class class class wbr 4215   cxp 4879   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   clt 9125  cn0 10226  cz 10287   cseq 11328 This theorem is referenced by:  algcvga  13075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329
 Copyright terms: Public domain W3C validator