Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algfx Structured version   Unicode version

Theorem algfx 13073
 Description: If reaches a fixed point when the countdown function reaches , remains fixed after steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1
algcvga.2
algcvga.3
algcvga.4
algcvga.5
algfx.6
Assertion
Ref Expression
algfx
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem algfx
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . . 4
2 algcvga.3 . . . . 5
32ffvelrni 5871 . . . 4
41, 3syl5eqel 2522 . . 3
54nn0zd 10375 . 2
6 uzval 10492 . . . . . . 7
76eleq2d 2505 . . . . . 6
87pm5.32i 620 . . . . 5
9 fveq2 5730 . . . . . . . 8
109eqeq1d 2446 . . . . . . 7
1110imbi2d 309 . . . . . 6
12 fveq2 5730 . . . . . . . 8
1312eqeq1d 2446 . . . . . . 7
1413imbi2d 309 . . . . . 6
15 fveq2 5730 . . . . . . . 8
1615eqeq1d 2446 . . . . . . 7
1716imbi2d 309 . . . . . 6
18 fveq2 5730 . . . . . . . 8
1918eqeq1d 2446 . . . . . . 7
2019imbi2d 309 . . . . . 6
21 eqidd 2439 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
236eleq2d 2505 . . . . . . . . 9
2423pm5.32i 620 . . . . . . . 8
25 eluznn0 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15
264, 25sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14
27 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 algcvga.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 0z 10295 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 algcvga.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
3427, 28, 30, 31, 33algrp1 13067 . . . . . . . . . . . . . 14
3526, 34syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13
3627, 28, 30, 31, 33algrf 13066 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15
3826, 37syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
39 algcvga.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4032, 28, 2, 39, 1algcvga 13072 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14
42 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4644, 45eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4743, 46imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 algfx.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . . . 14
5038, 41, 49sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
5135, 50eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12
5251eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . 11
5352biimprd 216 . . . . . . . . . 10
5453expcom 426 . . . . . . . . 9
5554adantl 454 . . . . . . . 8
5624, 55sylbir 206 . . . . . . 7
5756a2d 25 . . . . . 6
5811, 14, 17, 20, 22, 57uzind3 10365 . . . . 5
598, 58sylbi 189 . . . 4
6059ex 425 . . 3
6160com3r 76 . 2
625, 61mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  crab 2711  csn 3816   class class class wbr 4214   cxp 4878   ccom 4884  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1st 6349  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   clt 9122   cle 9123  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490   cseq 11325 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-seq 11326
 Copyright terms: Public domain W3C validator