Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altopthsn Unicode version

Theorem altopthsn 24495
Description: Two alternate ordered pairs are equal iff the singletons of their respective elements are equal. Note that this holds regardless of sethood of any of the elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
altopthsn  |-  ( << A ,  B >>  =  << C ,  D >>  <->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )

Proof of Theorem altopthsn
StepHypRef Expression
1 df-altop 24492 . . 3  |-  << A ,  B >>  =  { { A } ,  { A ,  { B } } }
2 df-altop 24492 . . 3  |-  << C ,  D >>  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }
31, 2eqeq12i 2296 . 2  |-  ( << A ,  B >>  =  << C ,  D >>  <->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } )
4 snex 4216 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
5 prex 4217 . . . . . 6  |-  { A ,  { B } }  e.  _V
6 snex 4216 . . . . . 6  |-  { C }  e.  _V
7 prex 4217 . . . . . 6  |-  { C ,  { D } }  e.  _V
84, 5, 6, 7preq12b 3788 . . . . 5  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  <->  ( ( { A }  =  { C }  /\  { A ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )  \/  ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } ) ) )
9 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  =  { C }  /\  { A ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )  ->  { A }  =  { C } )
10 snsspr1 3764 . . . . . . . . 9  |-  { A }  C_  { A ,  { B } }
11 sseq2 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  { B } }  =  { C }  ->  ( { A }  C_  { A ,  { B } }  <->  { A }  C_  { C } ) )
1210, 11mpbii 202 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  { B } }  =  { C }  ->  { A }  C_  { C }
)
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } )  ->  { A }  C_ 
{ C } )
14 snsspr1 3764 . . . . . . . . 9  |-  { C }  C_  { C ,  { D } }
15 sseq2 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  =  { C ,  { D } }  ->  ( { C }  C_  { A } 
<->  { C }  C_  { C ,  { D } } ) )
1614, 15mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  =  { C ,  { D } }  ->  { C }  C_  { A }
)
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } )  ->  { C }  C_ 
{ A } )
1813, 17eqssd 3196 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } )  ->  { A }  =  { C } )
199, 18jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( ( { A }  =  { C }  /\  { A ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )  \/  ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } ) )  ->  { A }  =  { C } )
208, 19sylbi 187 . . . 4  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { A }  =  { C } )
21 uneq1 3322 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  =  { C }  ->  ( { A }  u.  { { B } } )  =  ( { C }  u.  { { B } } ) )
22 df-pr 3647 . . . . . . . . . 10  |-  { A ,  { B } }  =  ( { A }  u.  { { B } } )
23 df-pr 3647 . . . . . . . . . 10  |-  { C ,  { B } }  =  ( { C }  u.  { { B } } )
2421, 22, 233eqtr4g 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { A ,  { B } }  =  { C ,  { B } } )
2524preq2d 3713 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { A } ,  { C ,  { B } } } )
26 preq1 3706 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { { A } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { B } } } )
2725, 26eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { B } } } )
2827eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  { C }  ->  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  <->  { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } ) )
2928biimpd 198 . . . . 5  |-  ( { A }  =  { C }  ->  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } ) )
30 prex 4217 . . . . . . 7  |-  { C ,  { B } }  e.  _V
3130, 7preqr2 3787 . . . . . 6  |-  ( { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { C ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )
32 snex 4216 . . . . . . 7  |-  { B }  e.  _V
33 snex 4216 . . . . . . 7  |-  { D }  e.  _V
3432, 33preqr2 3787 . . . . . 6  |-  ( { C ,  { B } }  =  { C ,  { D } }  ->  { B }  =  { D } )
3531, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { B }  =  { D } )
3629, 35syl6com 31 . . . 4  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  ( { A }  =  { C }  ->  { B }  =  { D } ) )
3720, 36jcai 522 . . 3  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )
38 preq2 3707 . . . . 5  |-  ( { B }  =  { D }  ->  { C ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )
3938preq2d 3713 . . . 4  |-  ( { B }  =  { D }  ->  { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } )
4027, 39sylan9eq 2335 . . 3  |-  ( ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } )  ->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } )
4137, 40impbii 180 . 2  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  <->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )
423, 41bitri 240 1  |-  ( << A ,  B >>  =  << C ,  D >>  <->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   <<caltop 24490
This theorem is referenced by:  altopeq12  24496  altopth1  24499  altopth2  24500  altopthg  24501  altopthbg  24502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-altop 24492
  Copyright terms: Public domain W3C validator