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Theorem altretop 25703
Description: Alternate definition of the standard topology of the reals. (Morris. Def. 2.1.1 p. 34). Morris calls the standard topology of the reals the euclidean topology. (Contributed by FL, 26-Jan-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
altretop  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
Distinct variable group:    a, b, y, A

Proof of Theorem altretop
Dummy variables  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopon 18288 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
2 toponss 16683 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  A  C_  RR )
31, 2mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
54rexmet 18313 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
74, 6tgioo 18318 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
87mopni2 18055 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
95, 8mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
103sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  y  e.  RR )
12 rpre 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
1312ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  r  e.  RR )
1411, 13resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y  -  r
)  e.  RR )
1511, 13readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y  +  r )  e.  RR )
16 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  r  e.  RR+ )
17 blcntr 17980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  y  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r ) )
185, 17mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r ) )
1911, 16, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  y  e.  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r ) )
204bl2ioo 18314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) ) )
2111, 13, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) ) )
2219, 21eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  y  e.  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) ) )
23 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
2421, 23eqsstr3d 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) )  C_  A )
25 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( y  -  r ) (,) b ) )
2625eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
y  e.  ( a (,) b )  <->  y  e.  ( ( y  -  r ) (,) b
) ) )
2725sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
( a (,) b
)  C_  A  <->  ( (
y  -  r ) (,) b )  C_  A ) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
)  <->  ( y  e.  ( ( y  -  r ) (,) b
)  /\  ( (
y  -  r ) (,) b )  C_  A ) ) )
29 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
( y  -  r
) (,) b )  =  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) ) )
3029eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
y  e.  ( ( y  -  r ) (,) b )  <->  y  e.  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) ) ) )
3129sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
( ( y  -  r ) (,) b
)  C_  A  <->  ( (
y  -  r ) (,) ( y  +  r ) )  C_  A ) )
3230, 31anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
( y  e.  ( ( y  -  r
) (,) b )  /\  ( ( y  -  r ) (,) b )  C_  A
)  <->  ( y  e.  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) )  /\  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) )  C_  A ) ) )
3328, 32rspc2ev 2905 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  -  r
)  e.  RR  /\  ( y  +  r )  e.  RR  /\  ( y  e.  ( ( y  -  r
) (,) ( y  +  r ) )  /\  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) )  C_  A
) )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
3414, 15, 22, 24, 33syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
)
3534ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
) )
3635rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
) )
379, 36mpd 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
3837ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
393, 38jca 518 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
40 ressxr 8892 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
41 ssrexv 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  C_  RR*  ->  ( E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
4342reximi 2663 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR*  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
)
44 ssrexv 3251 . . . . . . 7  |-  ( RR  C_  RR*  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
4540, 43, 44mpsyl 59 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
)
46 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( a (,) b )  e. 
_V
4746rgen2w 2624 . . . . . . 7  |-  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( a (,) b )  e.  _V
48 ioof 10757 . . . . . . . . . 10  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
49 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
51 fnov 5968 . . . . . . . . 9  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* ) 
<->  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e. 
RR*  |->  ( a (,) b ) ) )
5250, 51mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  ( a (,) b ) )
53 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( a (,) b )  ->  (
y  e.  u  <->  y  e.  ( a (,) b
) ) )
54 sseq1 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( a (,) b )  ->  (
u  C_  A  <->  ( a (,) b )  C_  A
) )
5553, 54anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( a (,) b )  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  A )  <-> 
( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
5652, 55rexrnmpt2 5975 . . . . . . 7  |-  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( a (,) b )  e.  _V  ->  ( E. u  e. 
ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A )  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
5747, 56ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A )  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
5845, 57sylibr 203 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
5958ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
)  ->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
6059adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )  ->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
61 retopbas 18285 . . . 4  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
62 eltg2b 16713 . . . 4  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) ) )
6361, 62ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
6460, 63sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )  ->  A  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
6539, 64impbii 180 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   RRcr 8752    + caddc 8756   RR*cxr 8882    - cmin 9053   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   abscabs 11735   topGenctg 13358   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648   TopBasesctb 16651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
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