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Theorem altretop 25600
Description: Alternate definition of the standard topology of the reals. (Morris. Def. 2.1.1 p. 34). Morris calls the standard topology of the reals the euclidean topology. (Contributed by FL, 26-Jan-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
altretop  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
Distinct variable group:    a, b, y, A

Proof of Theorem altretop
Dummy variables  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopon 18272 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
2 toponss 16667 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  A  C_  RR )
31, 2mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
54rexmet 18297 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
74, 6tgioo 18302 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
87mopni2 18039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
95, 8mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
103sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  y  e.  RR )
12 rpre 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
1312ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  r  e.  RR )
1411, 13resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y  -  r
)  e.  RR )
1511, 13readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y  +  r )  e.  RR )
16 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  r  e.  RR+ )
17 blcntr 17964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  y  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r ) )
185, 17mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r ) )
1911, 16, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  y  e.  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r ) )
204bl2ioo 18298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) ) )
2111, 13, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) ) )
2219, 21eleqtrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  y  e.  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) ) )
23 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
2421, 23eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) )  C_  A )
25 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( y  -  r ) (,) b ) )
2625eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
y  e.  ( a (,) b )  <->  y  e.  ( ( y  -  r ) (,) b
) ) )
2725sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
( a (,) b
)  C_  A  <->  ( (
y  -  r ) (,) b )  C_  A ) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( y  -  r )  ->  (
( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
)  <->  ( y  e.  ( ( y  -  r ) (,) b
)  /\  ( (
y  -  r ) (,) b )  C_  A ) ) )
29 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
( y  -  r
) (,) b )  =  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) ) )
3029eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
y  e.  ( ( y  -  r ) (,) b )  <->  y  e.  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) ) ) )
3129sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
( ( y  -  r ) (,) b
)  C_  A  <->  ( (
y  -  r ) (,) ( y  +  r ) )  C_  A ) )
3230, 31anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( y  +  r )  ->  (
( y  e.  ( ( y  -  r
) (,) b )  /\  ( ( y  -  r ) (,) b )  C_  A
)  <->  ( y  e.  ( ( y  -  r ) (,) (
y  +  r ) )  /\  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) )  C_  A ) ) )
3328, 32rspc2ev 2892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  -  r
)  e.  RR  /\  ( y  +  r )  e.  RR  /\  ( y  e.  ( ( y  -  r
) (,) ( y  +  r ) )  /\  ( ( y  -  r ) (,) ( y  +  r ) )  C_  A
) )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
3414, 15, 22, 24, 33syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
)
3534ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
) )
3635rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
) )
379, 36mpd 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  A )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
3837ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
393, 38jca 518 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
40 ressxr 8876 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
41 ssrexv 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  C_  RR*  ->  ( E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
4342reximi 2650 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR*  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
)
44 ssrexv 3238 . . . . . . 7  |-  ( RR  C_  RR*  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
4540, 43, 44mpsyl 59 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )
)
46 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( a (,) b )  e. 
_V
4746rgen2w 2611 . . . . . . 7  |-  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( a (,) b )  e.  _V
48 ioof 10741 . . . . . . . . . 10  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
49 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
51 fnov 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* ) 
<->  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e. 
RR*  |->  ( a (,) b ) ) )
5250, 51mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  ( a (,) b ) )
53 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( a (,) b )  ->  (
y  e.  u  <->  y  e.  ( a (,) b
) ) )
54 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( a (,) b )  ->  (
u  C_  A  <->  ( a (,) b )  C_  A
) )
5553, 54anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( a (,) b )  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  A )  <-> 
( y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
5652, 55rexrnmpt2 5959 . . . . . . 7  |-  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( a (,) b )  e.  _V  ->  ( E. u  e. 
ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A )  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
5747, 56ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A )  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )
5845, 57sylibr 203 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  (
y  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  A )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
5958ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
)  ->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
6059adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )  ->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
61 retopbas 18269 . . . 4  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
62 eltg2b 16697 . . . 4  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) ) )
6361, 62ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  A. y  e.  A  E. u  e.  ran  (,) ( y  e.  u  /\  u  C_  A ) )
6460, 63sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) )  ->  A  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
6539, 64impbii 180 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( y  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    - cmin 9037   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   abscabs 11719   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372  TopOnctopon 16632   TopBasesctb 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639
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