Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgm Structured version   Unicode version

Theorem amgm 20821
 Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here g calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements together), and ℂfld g calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
amgm.1 mulGrpfld
Assertion
Ref Expression
amgm g fld g

Proof of Theorem amgm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgm.1 . . . . . . . . 9 mulGrpfld
2 cnfldbas 16699 . . . . . . . . 9 fld
31, 2mgpbas 15646 . . . . . . . 8
4 cnfld1 16718 . . . . . . . . 9 fld
51, 4rngidval 15658 . . . . . . . 8
6 cnfldmul 16701 . . . . . . . . 9 fld
71, 6mgpplusg 15644 . . . . . . . 8
8 cncrng 16714 . . . . . . . . 9 fld
91crngmgp 15664 . . . . . . . . 9 fld CMnd
108, 9mp1i 12 . . . . . . . 8 CMnd
11 simpl1 960 . . . . . . . 8
12 simpl3 962 . . . . . . . . 9
13 0re 9083 . . . . . . . . . . 11
14 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . 11
15 icossre 10983 . . . . . . . . . . 11
1613, 14, 15mp2an 654 . . . . . . . . . 10
17 ax-resscn 9039 . . . . . . . . . 10
1816, 17sstri 3349 . . . . . . . . 9
19 fss 5591 . . . . . . . . 9
2012, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . 8
2111, 12fisuppfi 14765 . . . . . . . 8
22 disjdif 3692 . . . . . . . . 9
2322a1i 11 . . . . . . . 8
24 undif2 3696 . . . . . . . . 9
25 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
2625snssd 3935 . . . . . . . . . 10
27 ssequn1 3509 . . . . . . . . . 10
2826, 27sylib 189 . . . . . . . . 9
2924, 28syl5req 2480 . . . . . . . 8
303, 5, 7, 10, 11, 20, 21, 23, 29gsumsplit 15522 . . . . . . 7 g g g
3112, 26feqresmpt 5772 . . . . . . . . . 10
3231oveq2d 6089 . . . . . . . . 9 g g
33 cnrng 16715 . . . . . . . . . . 11 fld
341rngmgp 15662 . . . . . . . . . . 11 fld
3533, 34mp1i 12 . . . . . . . . . 10
3620, 25ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10
37 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
383, 37gsumsn 15535 . . . . . . . . . 10 g
3935, 25, 36, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 g
40 simprr 734 . . . . . . . . 9
4132, 39, 403eqtrd 2471 . . . . . . . 8 g
4241oveq1d 6088 . . . . . . 7 g g g
43 diffi 7331 . . . . . . . . . 10
4411, 43syl 16 . . . . . . . . 9
45 difss 3466 . . . . . . . . . 10
46 fssres 5602 . . . . . . . . . 10
4720, 45, 46sylancl 644 . . . . . . . . 9
4844, 47fisuppfi 14765 . . . . . . . . 9
493, 5, 10, 44, 47, 48gsumcl 15513 . . . . . . . 8 g
5049mul02d 9256 . . . . . . 7 g
5130, 42, 503eqtrd 2471 . . . . . 6 g
5251oveq1d 6088 . . . . 5 g
53 simpl2 961 . . . . . . . . 9
54 hashnncl 11637 . . . . . . . . . 10
5511, 54syl 16 . . . . . . . . 9
5653, 55mpbird 224 . . . . . . . 8
5756nncnd 10008 . . . . . . 7
5856nnne0d 10036 . . . . . . 7
5957, 58reccld 9775 . . . . . 6
6057, 58recne0d 9776 . . . . . 6
6159, 600cxpd 20593 . . . . 5
6252, 61eqtrd 2467 . . . 4 g
63 cnfld0 16717 . . . . . . 7 fld
64 rngcmn 15686 . . . . . . . 8 fld fld CMnd
6533, 64mp1i 12 . . . . . . 7 fld CMnd
66 rege0subm 16747 . . . . . . . 8 SubMndfld
6766a1i 11 . . . . . . 7 SubMndfld
6811, 12fisuppfi 14765 . . . . . . 7
6963, 65, 11, 67, 12, 68gsumsubmcl 15516 . . . . . 6 fld g
70 elrege0 10999 . . . . . 6 fld g fld g fld g
7169, 70sylib 189 . . . . 5 fld g fld g
7256nnred 10007 . . . . 5
7356nngt0d 10035 . . . . 5
74 divge0 9871 . . . . 5 fld g fld g fld g
7571, 72, 73, 74syl12anc 1182 . . . 4 fld g
7662, 75eqbrtrd 4224 . . 3 g fld g
7776rexlimdvaa 2823 . 2 g fld g
78 ralnex 2707 . . 3
79 simpl1 960 . . . . 5
80 simpl2 961 . . . . 5
81 simpl3 962 . . . . . . 7
82 ffn 5583 . . . . . . 7
8381, 82syl 16 . . . . . 6
84 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85843ad2antl3 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14
8887simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13
8987simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14
90 leloe 9153 . . . . . . . . . . . . . 14
9113, 89, 90sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
9288, 91mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
9392ord 367 . . . . . . . . . . 11
94 eqcom 2437 . . . . . . . . . . 11
9593, 94syl6ib 218 . . . . . . . . . 10
9695con1d 118 . . . . . . . . 9
97 elrp 10606 . . . . . . . . . . 11
9897baib 872 . . . . . . . . . 10
9989, 98syl 16 . . . . . . . . 9
10096, 99sylibrd 226 . . . . . . . 8
101100ralimdva 2776 . . . . . . 7
102101imp 419 . . . . . 6
103 ffnfv 5886 . . . . . 6
10483, 102, 103sylanbrc 646 . . . . 5
1051, 79, 80, 104amgmlem 20820 . . . 4 g fld g
106105ex 424 . . 3 g fld g
10778, 106syl5bir 210 . 2 g fld g
10877, 107pm2.61d 152 1 g fld g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cres 4872   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   cpnf 9109  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  crp 10604  cico 10910  chash 11610   g cgsu 13716  cmnd 14676  SubMndcsubmnd 14729  CMndccmn 15404  mulGrpcmgp 15640  crg 15652  ccrg 15653  ℂfldccnfld 16695   ccxp 20445 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-gim 15038  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447
 Copyright terms: Public domain W3C validator