Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180 Unicode version

Theorem ang180 20217
 Description: The sum of angles in a triangle adds up to either or , i.e. 180 degrees. (The sign is due to the two possible orientations of vertex arrangement and our signed notion of angle). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ang.1
Assertion
Ref Expression
ang180
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ang180
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . . . . . 7
2 simpl2 959 . . . . . . 7
31, 2subcld 9244 . . . . . 6
4 simpr2 962 . . . . . . . 8
54necomd 2604 . . . . . . 7
6 subeq0 9160 . . . . . . . . 9
71, 2, 6syl2anc 642 . . . . . . . 8
87necon3bid 2556 . . . . . . 7
95, 8mpbird 223 . . . . . 6
10 simpl1 958 . . . . . . 7
1110, 2subcld 9244 . . . . . 6
12 simpr1 961 . . . . . . 7
13 subeq0 9160 . . . . . . . . 9
1410, 2, 13syl2anc 642 . . . . . . . 8
1514necon3bid 2556 . . . . . . 7
1612, 15mpbird 223 . . . . . 6
17 ang.1 . . . . . . 7
1817angneg 20206 . . . . . 6
193, 9, 11, 16, 18syl22anc 1183 . . . . 5
201, 2negsubdi2d 9260 . . . . . . 7
212, 1, 10nnncan2d 9279 . . . . . . 7
2220, 21eqtr4d 2393 . . . . . 6
2310, 2negsubdi2d 9260 . . . . . 6
2422, 23oveq12d 5960 . . . . 5
2519, 24eqtr3d 2392 . . . 4
2610, 1subcld 9244 . . . . . 6
27 simpr3 963 . . . . . . 7
28 subeq0 9160 . . . . . . . . 9
2910, 1, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8
3029necon3bid 2556 . . . . . . 7
3127, 30mpbird 223 . . . . . 6
322, 1subcld 9244 . . . . . 6
33 subeq0 9160 . . . . . . . . 9
342, 1, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8
3534necon3bid 2556 . . . . . . 7
364, 35mpbird 223 . . . . . 6
3717angneg 20206 . . . . . 6
3826, 31, 32, 36, 37syl22anc 1183 . . . . 5
3910, 1negsubdi2d 9260 . . . . . 6
402, 1negsubdi2d 9260 . . . . . . 7
411, 2, 10nnncan2d 9279 . . . . . . 7
4240, 41eqtr4d 2393 . . . . . 6
4339, 42oveq12d 5960 . . . . 5
4438, 43eqtr3d 2392 . . . 4
4525, 44oveq12d 5960 . . 3
4645oveq1d 5957 . 2
472, 10subcld 9244 . . 3
4812necomd 2604 . . . 4
49 subeq0 9160 . . . . . 6
502, 10, 49syl2anc 642 . . . . 5
5150necon3bid 2556 . . . 4
5248, 51mpbird 223 . . 3
531, 10subcld 9244 . . 3
5427necomd 2604 . . . 4
55 subeq0 9160 . . . . . 6
561, 10, 55syl2anc 642 . . . . 5
5756necon3bid 2556 . . . 4
5854, 57mpbird 223 . . 3
59 subcan2 9159 . . . . . 6
602, 1, 10, 59syl3anc 1182 . . . . 5
6160necon3bid 2556 . . . 4
624, 61mpbird 223 . . 3
6317ang180lem5 20216 . . 3
6447, 52, 53, 58, 62, 63syl221anc 1193 . 2
6546, 64eqeltrd 2432 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521   cdif 3225  csn 3716  cpr 3717  cfv 5334  (class class class)co 5942   cmpt2 5944  cc 8822  cc0 8824   caddc 8827   cmin 9124  cneg 9125   cdiv 9510  cim 11673  cpi 12439  clog 20013 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ioc 10750  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-fac 11379  df-bc 11406  df-hash 11428  df-shft 11652  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-limsup 12035  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-ef 12440  df-sin 12442  df-cos 12443  df-pi 12445  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315  df-log 20015
 Copyright terms: Public domain W3C validator