Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem1 Structured version   Unicode version

Theorem ang180lem1 20653
 Description: Lemma for ang180 20658. Show that the "revolution number" is an integer, using efeq1 20433 to show that since the product of the three arguments is , the sum of the logarithms must be an integer multiple of away from . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1
ang180lem1.2
ang180lem1.3
Assertion
Ref Expression
ang180lem1
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ang180lem1
StepHypRef Expression
1 pire 20374 . . . . . . . 8
21recni 9104 . . . . . . 7
3 2re 10071 . . . . . . . . . 10
43, 1remulcli 9106 . . . . . . . . 9
54recni 9104 . . . . . . . 8
6 2pos 10084 . . . . . . . . . 10
7 pipos 20375 . . . . . . . . . 10
83, 1, 6, 7mulgt0ii 9208 . . . . . . . . 9
94, 8gt0ne0ii 9565 . . . . . . . 8
105, 9pm3.2i 443 . . . . . . 7
11 ax-icn 9051 . . . . . . . 8
12 ine0 9471 . . . . . . . 8
1311, 12pm3.2i 443 . . . . . . 7
14 divcan5 9718 . . . . . . 7
152, 10, 13, 14mp3an 1280 . . . . . 6
161, 7gt0ne0ii 9565 . . . . . . 7
17 recdiv 9722 . . . . . . 7
185, 9, 2, 16, 17mp4an 656 . . . . . 6
193recni 9104 . . . . . . . 8
2019, 2, 16divcan4i 9763 . . . . . . 7
2120oveq2i 6094 . . . . . 6
2215, 18, 213eqtr2i 2464 . . . . 5
2322oveq2i 6094 . . . 4
24 ang180lem1.2 . . . . . 6
25 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . 11
26 simp1 958 . . . . . . . . . . 11
27 subcl 9307 . . . . . . . . . . 11
2825, 26, 27sylancr 646 . . . . . . . . . 10
29 simp3 960 . . . . . . . . . . . 12
3029necomd 2689 . . . . . . . . . . 11
31 subeq0 9329 . . . . . . . . . . . . 13
3225, 26, 31sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
3332necon3bid 2638 . . . . . . . . . . 11
3430, 33mpbird 225 . . . . . . . . . 10
3528, 34reccld 9785 . . . . . . . . 9
3628, 34recne0d 9786 . . . . . . . . 9
3735, 36logcld 20470 . . . . . . . 8
38 subcl 9307 . . . . . . . . . . 11
3926, 25, 38sylancl 645 . . . . . . . . . 10
40 simp2 959 . . . . . . . . . 10
4139, 26, 40divcld 9792 . . . . . . . . 9
42 subeq0 9329 . . . . . . . . . . . . 13
4326, 25, 42sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12
4443necon3bid 2638 . . . . . . . . . . 11
4529, 44mpbird 225 . . . . . . . . . 10
4639, 26, 45, 40divne0d 9808 . . . . . . . . 9
4741, 46logcld 20470 . . . . . . . 8
4837, 47addcld 9109 . . . . . . 7
4926, 40logcld 20470 . . . . . . 7
5048, 49addcld 9109 . . . . . 6
5124, 50syl5eqel 2522 . . . . 5
5211, 2mulcli 9097 . . . . . 6
5352a1i 11 . . . . 5
5411, 5mulcli 9097 . . . . . 6
5554a1i 11 . . . . 5
5611, 5, 12, 9mulne0i 9667 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
5851, 53, 55, 57divsubdird 9831 . . . 4
59 ang180lem1.3 . . . . 5
6013a1i 11 . . . . . . 7
6110a1i 11 . . . . . . 7
62 divdiv1 9727 . . . . . . 7
6351, 60, 61, 62syl3anc 1185 . . . . . 6
6463oveq1d 6098 . . . . 5
6559, 64syl5eq 2482 . . . 4
6623, 58, 653eqtr4a 2496 . . 3
67 efsub 12703 . . . . . 6
6851, 52, 67sylancl 645 . . . . 5
69 efipi 20383 . . . . . . 7
7069oveq2i 6094 . . . . . 6
7124fveq2i 5733 . . . . . . . . 9
72 efadd 12698 . . . . . . . . . . 11
7348, 49, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
74 efadd 12698 . . . . . . . . . . . . 13
7537, 47, 74syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
76 eflog 20476 . . . . . . . . . . . . . 14
7735, 36, 76syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
78 eflog 20476 . . . . . . . . . . . . . 14
7941, 46, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 79oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12
8135, 41mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . 13
8225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382, 28, 34div2negd 9807 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 negsubdi2 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8525, 26, 84sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15
8783, 86eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
8887oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13
89 neg1cn 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9190, 39, 26, 45, 40dmdcand 9821 . . . . . . . . . . . . 13
9281, 88, 913eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12
9375, 80, 923eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11
94 eflog 20476 . . . . . . . . . . . 12
9526, 40, 94syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
9693, 95oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10
9790, 26, 40divcan1d 9793 . . . . . . . . . 10
9873, 96, 973eqtrd 2474 . . . . . . . . 9
9971, 98syl5eq 2482 . . . . . . . 8
10099oveq1d 6098 . . . . . . 7
101 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . 9
10225, 101negne0i 9377 . . . . . . . 8
10389, 102dividi 9749 . . . . . . 7
104100, 103syl6eq 2486 . . . . . 6
10570, 104syl5eq 2482 . . . . 5
10668, 105eqtrd 2470 . . . 4
107 subcl 9307 . . . . . 6
10851, 52, 107sylancl 645 . . . . 5
109 efeq1 20433 . . . . 5
110108, 109syl 16 . . . 4
111106, 110mpbid 203 . . 3
11266, 111eqeltrrd 2513 . 2
11311a1i 11 . . . . 5
11412a1i 11 . . . . 5
11551, 113, 114divcld 9792 . . . 4
1165a1i 11 . . . 4
1179a1i 11 . . . 4
118115, 116, 117divcan1d 9793 . . 3
11959oveq1i 6093 . . . . . 6
120115, 116, 117divcld 9792 . . . . . . 7
121 1re 9092 . . . . . . . . 9
122121rehalfcli 10218 . . . . . . . 8
123122recni 9104 . . . . . . 7
124 npcan 9316 . . . . . . 7
125120, 123, 124sylancl 645 . . . . . 6
126119, 125syl5eq 2482 . . . . 5
127112zred 10377 . . . . . 6
128 readdcl 9075 . . . . . 6
129127, 122, 128sylancl 645 . . . . 5
130126, 129eqeltrrd 2513 . . . 4
131 remulcl 9077 . . . 4
132130, 4, 131sylancl 645 . . 3
133118, 132eqeltrrd 2513 . 2
134112, 133jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   cdif 3319  csn 3816  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993  ci 8994   caddc 8995   cmul 8997   cmin 9293  cneg 9294   cdiv 9679  c2 10051  cz 10284  cim 11905  ce 12666  cpi 12671  clog 20454 This theorem is referenced by:  ang180lem2  20654  ang180lem3  20655 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
 Copyright terms: Public domain W3C validator