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Theorem ang180lem2 20644
 Description: Lemma for ang180 20648. Show that the revolution number is strictly between and . Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 20459, but the resulting bound gives only for the upper bound. The case is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1
ang180lem1.2
ang180lem1.3
Assertion
Ref Expression
ang180lem2
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ang180lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 10062 . . . . . . 7
2 1re 9082 . . . . . . . . 9
32rehalfcli 10208 . . . . . . . 8
43recni 9094 . . . . . . 7
51, 4negsubdii 9377 . . . . . 6
6 4d2e2 10124 . . . . . . . . 9
76oveq1i 6083 . . . . . . . 8
8 4cn 10066 . . . . . . . . . 10
9 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . 10
10 2ne0 10075 . . . . . . . . . . 11
111, 10pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10
12 divsubdir 9702 . . . . . . . . . 10
138, 9, 11, 12mp3an 1279 . . . . . . . . 9
14 3cn 10064 . . . . . . . . . . 11
159, 14addcomi 9249 . . . . . . . . . . . 12
16 df-4 10052 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16eqtr4i 2458 . . . . . . . . . . 11
188, 9, 14, 17subaddrii 9381 . . . . . . . . . 10
1918oveq1i 6083 . . . . . . . . 9
2013, 19eqtr3i 2457 . . . . . . . 8
217, 20eqtr3i 2457 . . . . . . 7
2221negeqi 9291 . . . . . 6
235, 22eqtr3i 2457 . . . . 5
24 3re 10063 . . . . . . . . . . . . 13
2524rehalfcli 10208 . . . . . . . . . . . 12
2625recni 9094 . . . . . . . . . . 11
27 pire 20364 . . . . . . . . . . . 12
2827recni 9094 . . . . . . . . . . 11
2926, 1, 28mulassi 9091 . . . . . . . . . 10
3014, 1, 10divcan1i 9750 . . . . . . . . . . 11
3130oveq1i 6083 . . . . . . . . . 10
3229, 31eqtr3i 2457 . . . . . . . . 9
3332negeqi 9291 . . . . . . . 8
34 2re 10061 . . . . . . . . . . 11
3534, 27remulcli 9096 . . . . . . . . . 10
3635recni 9094 . . . . . . . . 9
3726, 36mulneg1i 9471 . . . . . . . 8
3814, 28mulneg2i 9472 . . . . . . . 8
3933, 37, 383eqtr4i 2465 . . . . . . 7
4027renegcli 9354 . . . . . . . . . . . 12
4134, 40remulcli 9096 . . . . . . . . . . 11
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10
4340a1i 11 . . . . . . . . . 10
44 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 subcl 9297 . . . . . . . . . . . . . . 15
469, 44, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 subeq0 9319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
509, 44, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150necon3bid 2633 . . . . . . . . . . . . . . 15
5248, 51mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14
5346, 52reccld 9775 . . . . . . . . . . . . 13
5446, 52recne0d 9776 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54logcld 20460 . . . . . . . . . . . 12
56 subcl 9297 . . . . . . . . . . . . . . 15
5744, 9, 56sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
58 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 44, 58divcld 9782 . . . . . . . . . . . . 13
60 subeq0 9319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6144, 9, 60sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261necon3bid 2633 . . . . . . . . . . . . . . 15
6347, 62mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14
6457, 44, 63, 58divne0d 9798 . . . . . . . . . . . . 13
6559, 64logcld 20460 . . . . . . . . . . . 12
6655, 65addcld 9099 . . . . . . . . . . 11
6766imcld 11992 . . . . . . . . . 10
68 logcl 20458 . . . . . . . . . . . 12
69683adant3 977 . . . . . . . . . . 11
7069imcld 11992 . . . . . . . . . 10
7155imcld 11992 . . . . . . . . . . . 12
7265imcld 11992 . . . . . . . . . . . 12
7353, 54logimcld 20461 . . . . . . . . . . . . 13
7473simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
7559, 64logimcld 20461 . . . . . . . . . . . . 13
7675simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
7743, 43, 71, 72, 74, 76lt2addd 9640 . . . . . . . . . . 11
7828negcli 9360 . . . . . . . . . . . . 13
79782timesi 10093 . . . . . . . . . . . 12
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11
8155, 65imaddd 12012 . . . . . . . . . . 11
8277, 80, 813brtr4d 4234 . . . . . . . . . 10
83 logimcl 20459 . . . . . . . . . . . 12
84833adant3 977 . . . . . . . . . . 11
8584simpld 446 . . . . . . . . . 10
8642, 43, 67, 70, 82, 85lt2addd 9640 . . . . . . . . 9
87 df-3 10051 . . . . . . . . . . . 12
8887oveq1i 6083 . . . . . . . . . . 11
891, 9, 78adddiri 9093 . . . . . . . . . . 11
9078mulid2i 9085 . . . . . . . . . . . 12
9190oveq2i 6084 . . . . . . . . . . 11
9288, 89, 913eqtri 2459 . . . . . . . . . 10
9392a1i 11 . . . . . . . . 9
94 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . 11
9594fveq2i 5723 . . . . . . . . . 10
9666, 69imaddd 12012 . . . . . . . . . 10
9795, 96syl5eq 2479 . . . . . . . . 9
9886, 93, 973brtr4d 4234 . . . . . . . 8
9966, 69addcld 9099 . . . . . . . . . . 11
10094, 99syl5eqel 2519 . . . . . . . . . 10
101 imval 11904 . . . . . . . . . 10
102100, 101syl 16 . . . . . . . . 9
103 ang.1 . . . . . . . . . . . 12
104 ang180lem1.3 . . . . . . . . . . . 12
105103, 94, 104ang180lem1 20643 . . . . . . . . . . 11
106105simprd 450 . . . . . . . . . 10
107106rered 12021 . . . . . . . . 9
108102, 107eqtrd 2467 . . . . . . . 8
10998, 108breqtrd 4228 . . . . . . 7
11039, 109syl5eqbr 4237 . . . . . 6
11125renegcli 9354 . . . . . . . 8
112111a1i 11 . . . . . . 7
11335a1i 11 . . . . . . 7
114 2pos 10074 . . . . . . . . 9
115 pipos 20365 . . . . . . . . 9
11634, 27, 114, 115mulgt0ii 9198 . . . . . . . 8
117116a1i 11 . . . . . . 7
118 ltmuldiv 9872 . . . . . . 7
119112, 106, 113, 117, 118syl112anc 1188 . . . . . 6
120110, 119mpbid 202 . . . . 5
12123, 120syl5eqbr 4237 . . . 4
12234renegcli 9354 . . . . . 6
123122a1i 11 . . . . 5
1243a1i 11 . . . . 5
12535, 116gt0ne0ii 9555 . . . . . . 7
126125a1i 11 . . . . . 6
127106, 113, 126redivcld 9834 . . . . 5
128123, 124, 127ltaddsubd 9618 . . . 4
129121, 128mpbid 202 . . 3
130129, 104syl6breqr 4244 . 2
13127a1i 11 . . . . . . . . . 10
13273simprd 450 . . . . . . . . . . . 12
13375simprd 450 . . . . . . . . . . . 12
13471, 72, 131, 131, 132, 133le2addd 9636 . . . . . . . . . . 11
135282timesi 10093 . . . . . . . . . . . 12
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11
137134, 81, 1363brtr4d 4234 . . . . . . . . . 10
13884simprd 450 . . . . . . . . . 10
13967, 70, 113, 131, 137, 138le2addd 9636 . . . . . . . . 9
140108, 97eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9
14187oveq1i 6083 . . . . . . . . . . 11
1421, 9, 28adddiri 9093 . . . . . . . . . . 11
14328mulid2i 9085 . . . . . . . . . . . 12
144143oveq2i 6084 . . . . . . . . . . 11
145141, 142, 1443eqtri 2459 . . . . . . . . . 10
146145a1i 11 . . . . . . . . 9
147139, 140, 1463brtr4d 4234 . . . . . . . 8
14836subid1i 9364 . . . . . . . . . 10
149148, 125eqnetri 2615 . . . . . . . . 9
150 negsub 9341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1519, 44, 150sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152151adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153 1rp 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
154146, 140oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
15536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15767recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15870recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
159155, 156, 157, 158addsub4d 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
160154, 159eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16224, 27remulcli 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
163162recni 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
164 ax-icn 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
166 ine0 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
168100, 165, 167divcld 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
169 subeq0 9319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
170163, 168, 169sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
171170biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
172161, 171eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
173 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
17435, 67, 173sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
175 subge0 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
17635, 67, 175sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
177137, 176mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
178 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
17927, 70, 178sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
180 subge0 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18127, 70, 180sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
182138, 181mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
183 add20 9532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
184174, 177, 179, 182, 183syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
185184biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
186172, 185syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
187186simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
188158adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
189 subeq0 9319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19028, 188, 189sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
191187, 190mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
192191eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
193 lognegb 20476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1941933adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
195194adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196192, 195mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
197 rpaddcl 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
198153, 196, 197sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199152, 198eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
200199rpreccld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16
201200relogcld 20510 . . . . . . . . . . . . . . 15
202 negsubdi2 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20344, 9, 202sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204203oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20557, 44, 58div2negd 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
206204, 205eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207206adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208199, 196rpdivcld 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
209207, 208eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16
210209relogcld 20510 . . . . . . . . . . . . . . 15
211201, 210readdcld 9107 . . . . . . . . . . . . . 14
212211reim0d 12022 . . . . . . . . . . . . 13
213212oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12
214186simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
215213, 214eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . 11
216215ex 424 . . . . . . . . . 10
217216necon3d 2636 . . . . . . . . 9
218149, 217mpi 17 . . . . . . . 8
219 ltlen 9167 . . . . . . . . 9
220106, 162, 219sylancl 644 . . . . . . . 8
221147, 218, 220mpbir2and 889 . . . . . . 7
222221, 32syl6breqr 4244 . . . . . 6
22325a1i 11 . . . . . . 7
224 ltdivmul2 9877 . . . . . . 7
225106, 223, 113, 117, 224syl112anc 1188 . . . . . 6
226222, 225mpbird 224 . . . . 5
22787oveq1i 6083 . . . . . 6
2281, 9, 1, 10divdiri 9763 . . . . . 6
2291, 10dividi 9739 . . . . . . 7
230229oveq1i 6083 . . . . . 6
231227, 228, 2303eqtri 2459 . . . . 5
232226, 231syl6breq 4243 . . . 4
2332a1i 11 . . . . 5
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 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   cdif 3309  csn 3806   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983  ci 8984   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  c2 10041  c3 10042  c4 10043  cz 10274  crp 10604  cre 11894  cim 11895  cpi 12661  clog 20444 This theorem is referenced by:  ang180lem3  20645 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446
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