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Theorem ang180lem2 20108
 Description: Lemma for ang180 20112. Show that the revolution number is strictly between and . Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 19927, but the resulting bound gives only for the upper bound. The case is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1
ang180lem1.2
ang180lem1.3
Assertion
Ref Expression
ang180lem2
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ang180lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 9816 . . . . . . 7
2 1re 8837 . . . . . . . . 9
3 rehalfcl 9938 . . . . . . . . 9
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . 8
54recni 8849 . . . . . . 7
61, 5negsubdii 9131 . . . . . 6
7 4d2e2 9876 . . . . . . . . 9
87oveq1i 5868 . . . . . . . 8
9 4cn 9820 . . . . . . . . . 10
10 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10
11 2ne0 9829 . . . . . . . . . . 11
121, 11pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10
13 divsubdir 9456 . . . . . . . . . 10
149, 10, 12, 13mp3an 1277 . . . . . . . . 9
15 3cn 9818 . . . . . . . . . . 11
1610, 15addcomi 9003 . . . . . . . . . . . 12
17 df-4 9806 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . 11
199, 10, 15, 18subaddrii 9135 . . . . . . . . . 10
2019oveq1i 5868 . . . . . . . . 9
2114, 20eqtr3i 2305 . . . . . . . 8
228, 21eqtr3i 2305 . . . . . . 7
2322negeqi 9045 . . . . . 6
246, 23eqtr3i 2305 . . . . 5
25 3re 9817 . . . . . . . . . . . . 13
26 2re 9815 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26, 11redivcli 9527 . . . . . . . . . . . 12
2827recni 8849 . . . . . . . . . . 11
29 pire 19832 . . . . . . . . . . . 12
3029recni 8849 . . . . . . . . . . 11
3128, 1, 30mulassi 8846 . . . . . . . . . 10
3215, 1, 11divcan1i 9504 . . . . . . . . . . 11
3332oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10
3431, 33eqtr3i 2305 . . . . . . . . 9
3534negeqi 9045 . . . . . . . 8
3626, 29remulcli 8851 . . . . . . . . . 10
3736recni 8849 . . . . . . . . 9
3828, 37mulneg1i 9225 . . . . . . . 8
3915, 30mulneg2i 9226 . . . . . . . 8
4035, 38, 393eqtr4i 2313 . . . . . . 7
4129renegcli 9108 . . . . . . . . . . . 12
4226, 41remulcli 8851 . . . . . . . . . . 11
4342a1i 10 . . . . . . . . . 10
4441a1i 10 . . . . . . . . . 10
45 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . 15
4710, 45, 46sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14
48 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5110, 45, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
5349, 52mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
5447, 53reccld 9529 . . . . . . . . . . . . 13
5547, 53recne0d 9530 . . . . . . . . . . . . 13
56 logcl 19926 . . . . . . . . . . . . 13
5754, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
58 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . 15
5945, 10, 58sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14
60 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . 14
6159, 45, 60divcld 9536 . . . . . . . . . . . . 13
62 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6345, 10, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
6548, 64mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
6659, 45, 65, 60divne0d 9552 . . . . . . . . . . . . 13
67 logcl 19926 . . . . . . . . . . . . 13
6861, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
6957, 68addcld 8854 . . . . . . . . . . 11
7069imcld 11680 . . . . . . . . . 10
71 logcl 19926 . . . . . . . . . . . 12
72713adant3 975 . . . . . . . . . . 11
7372imcld 11680 . . . . . . . . . 10
7457imcld 11680 . . . . . . . . . . . 12
7568imcld 11680 . . . . . . . . . . . 12
76 logimcl 19927 . . . . . . . . . . . . . 14
7754, 55, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
7877simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
79 logimcl 19927 . . . . . . . . . . . . . 14
8061, 66, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
8180simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
8244, 44, 74, 75, 78, 81lt2addd 9394 . . . . . . . . . . 11
8330negcli 9114 . . . . . . . . . . . . 13
84832timesi 9845 . . . . . . . . . . . 12
8584a1i 10 . . . . . . . . . . 11
8657, 68imaddd 11700 . . . . . . . . . . 11
8782, 85, 863brtr4d 4053 . . . . . . . . . 10
88 logimcl 19927 . . . . . . . . . . . 12
89883adant3 975 . . . . . . . . . . 11
9089simpld 445 . . . . . . . . . 10
9143, 44, 70, 73, 87, 90lt2addd 9394 . . . . . . . . 9
92 df-3 9805 . . . . . . . . . . . 12
9392oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11
941, 10, 83adddiri 8848 . . . . . . . . . . 11
9583mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . 12
9695oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11
9793, 94, 963eqtri 2307 . . . . . . . . . 10
9897a1i 10 . . . . . . . . 9
99 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . 11
10099fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10
10169, 72imaddd 11700 . . . . . . . . . 10
102100, 101syl5eq 2327 . . . . . . . . 9
10391, 98, 1023brtr4d 4053 . . . . . . . 8
10469, 72addcld 8854 . . . . . . . . . . 11
10599, 104syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10
106 imval 11592 . . . . . . . . . 10
107105, 106syl 15 . . . . . . . . 9
108 ang.1 . . . . . . . . . . . 12
109 ang180lem1.3 . . . . . . . . . . . 12
110108, 99, 109ang180lem1 20107 . . . . . . . . . . 11
111110simprd 449 . . . . . . . . . 10
112111rered 11709 . . . . . . . . 9
113107, 112eqtrd 2315 . . . . . . . 8
114103, 113breqtrd 4047 . . . . . . 7
11540, 114syl5eqbr 4056 . . . . . 6
11627renegcli 9108 . . . . . . . 8
117116a1i 10 . . . . . . 7
11836a1i 10 . . . . . . 7
119 2pos 9828 . . . . . . . . 9
120 pipos 19833 . . . . . . . . 9
12126, 29, 119, 120mulgt0ii 8952 . . . . . . . 8
122121a1i 10 . . . . . . 7
123 ltmuldiv 9626 . . . . . . 7
124117, 111, 118, 122, 123syl112anc 1186 . . . . . 6
125115, 124mpbid 201 . . . . 5
12624, 125syl5eqbr 4056 . . . 4
12726renegcli 9108 . . . . . 6
128127a1i 10 . . . . 5
1294a1i 10 . . . . 5
13036, 121gt0ne0ii 9309 . . . . . . 7
131130a1i 10 . . . . . 6
132111, 118, 131redivcld 9588 . . . . 5
133128, 129, 132ltaddsubd 9372 . . . 4
134126, 133mpbid 201 . . 3
135134, 109syl6breqr 4063 . 2
13629a1i 10 . . . . . . . . . 10
13777simprd 449 . . . . . . . . . . . 12
13880simprd 449 . . . . . . . . . . . 12
13974, 75, 136, 136, 137, 138le2addd 9390 . . . . . . . . . . 11
140302timesi 9845 . . . . . . . . . . . 12
141140a1i 10 . . . . . . . . . . 11
142139, 86, 1413brtr4d 4053 . . . . . . . . . 10
14389simprd 449 . . . . . . . . . 10
14470, 73, 118, 136, 142, 143le2addd 9390 . . . . . . . . 9
145113, 102eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9
14692oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11
1471, 10, 30adddiri 8848 . . . . . . . . . . 11
14830mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . 12
149148oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11
150146, 147, 1493eqtri 2307 . . . . . . . . . 10
151150a1i 10 . . . . . . . . 9
152144, 145, 1513brtr4d 4053 . . . . . . . 8
15337subid1i 9118 . . . . . . . . . 10
154153, 130eqnetri 2463 . . . . . . . . 9
155 negsub 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15610, 45, 155sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159151, 145oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
16037a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
16130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
16270recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
16373recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
164160, 161, 162, 163addsub4d 9204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
165159, 164eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
166165adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16725, 29remulcli 8851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
168167recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
169 ax-icn 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
170169a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
171 ine0 9215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
172171a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
173105, 170, 172divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
174 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
175168, 173, 174sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
176175biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
177166, 176eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
178 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
17936, 70, 178sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
180 subge0 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18136, 70, 180sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
182142, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
183 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
18429, 73, 183sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
185 subge0 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18629, 73, 185sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
187143, 186mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
188 add20 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
189179, 182, 184, 187, 188syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
190189biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
191177, 190syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
192191simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
193163adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
194 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19530, 193, 194sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
196192, 195mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
197196eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
198 lognegb 19943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1991983adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
200199adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
201197, 200mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202 rpaddcl 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
203158, 201, 202sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
204157, 203eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
205204rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . . . . . 16
206205relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . . . 15
207 negsubdi2 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20845, 10, 207sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
209208oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21059, 45, 60div2negd 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
211209, 210eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
212211adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213204, 201rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214212, 213eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215214relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . . . 15
216206, 215readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . 14
217216reim0d 11710 . . . . . . . . . . . . 13
218217oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12
219191simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
220218, 219eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11
221220ex 423 . . . . . . . . . 10
222221necon3d 2484 . . . . . . . . 9
223154, 222mpi 16 . . . . . . . 8
224 ltlen 8922 . . . . . . . . 9
225111, 167, 224sylancl 643 . . . . . . . 8
226152, 223, 225mpbir2and 888 . . . . . . 7
227226, 34syl6breqr 4063 . . . . . 6
22827a1i 10 . . . . . . 7
229 ltdivmul2 9631 . . . . . . 7
230111, 228, 118, 122, 229syl112anc 1186 . . . . . 6
231227, 230mpbird 223 . . . . 5
23292oveq1i 5868 . . . . . 6
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