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Theorem aomclem6 27136
Description: Lemma for dfac11 27139. Transfinite induction, close over  z. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem6.b  |-  B  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( ( c  e.  b  /\  -.  c  e.  a
)  /\  A. d  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( d ( z `  U. dom  z ) c  -> 
( d  e.  a  <-> 
d  e.  b ) ) ) }
aomclem6.c  |-  C  =  ( a  e.  _V  |->  sup ( ( y `  a ) ,  ( R1 `  dom  z
) ,  B ) )
aomclem6.d  |-  D  = recs ( ( a  e. 
_V  |->  ( C `  ( ( R1 `  dom  z )  \  ran  a ) ) ) )
aomclem6.e  |-  E  =  { <. a ,  b
>.  |  |^| ( `' D " { a } )  e.  |^| ( `' D " { b } ) }
aomclem6.f  |-  F  =  { <. a ,  b
>.  |  ( ( rank `  a )  _E  ( rank `  b
)  \/  ( (
rank `  a )  =  ( rank `  b
)  /\  a (
z `  suc  ( rank `  a ) ) b ) ) }
aomclem6.g  |-  G  =  ( if ( dom  z  =  U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  (
( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )
aomclem6.h  |-  H  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )
aomclem6.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
aomclem6.y  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  (
y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
Assertion
Ref Expression
aomclem6  |-  ( ph  ->  ( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) )
Distinct variable groups:    y, z,
a, b, c, d    ph, a, b, c, d, z    C, a, b, c, d    D, a, b, c, d    A, a, b, c, d, z    H, a, b, c, d, z    G, d
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    B( y, z, a, b, c, d)    C( y, z)    D( y, z)    E( y, z, a, b, c, d)    F( y, z, a, b, c, d)    G( y, z, a, b, c)    H( y)

Proof of Theorem aomclem6
StepHypRef Expression
1 ssid 3369 . 2  |-  A  C_  A
2 aomclem6.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
32adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  On )
4 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  (
c  C_  A  <->  d  C_  A ) )
54anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( ph  /\  c  C_  A )  <->  ( ph  /\  d  C_  A )
) )
6 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( H `  c )  =  ( H `  d ) )
7 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( R1 `  c )  =  ( R1 `  d
) )
86, 7weeq12d 27116 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) ) )
95, 8imbi12d 313 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  (
( ( ph  /\  c  C_  A )  -> 
( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) ) ) )
10 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  (
c  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1110anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
( ph  /\  c  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
12 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  ( H `  c )  =  ( H `  A ) )
13 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  ( R1 `  c )  =  ( R1 `  A
) )
1412, 13weeq12d 27116 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A ) ) )
1511, 14imbi12d 313 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  (
( ( ph  /\  c  C_  A )  -> 
( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( ( ph  /\  A  C_  A )  -> 
( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) ) ) )
16 aomclem6.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( ( c  e.  b  /\  -.  c  e.  a
)  /\  A. d  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( d ( z `  U. dom  z ) c  -> 
( d  e.  a  <-> 
d  e.  b ) ) ) }
17 aomclem6.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  ( a  e.  _V  |->  sup ( ( y `  a ) ,  ( R1 `  dom  z
) ,  B ) )
18 aomclem6.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  = recs ( ( a  e. 
_V  |->  ( C `  ( ( R1 `  dom  z )  \  ran  a ) ) ) )
19 aomclem6.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  { <. a ,  b
>.  |  |^| ( `' D " { a } )  e.  |^| ( `' D " { b } ) }
20 aomclem6.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  { <. a ,  b
>.  |  ( ( rank `  a )  _E  ( rank `  b
)  \/  ( (
rank `  a )  =  ( rank `  b
)  /\  a (
z `  suc  ( rank `  a ) ) b ) ) }
21 aomclem6.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( if ( dom  z  =  U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  (
( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )
22 dmeq 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  dom  z  =  dom  ( H  |`  c ) )
2322adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  =  dom  ( H  |`  c ) )
24 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  c  e.  On )
25 onss 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  On  ->  c  C_  On )
26 aomclem6.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  H  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )
2726tfr1 6660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  Fn  On
28 fnssres 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H  Fn  On  /\  c  C_  On )  -> 
( H  |`  c
)  Fn  c )
2927, 28mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c 
C_  On  ->  ( H  |`  c )  Fn  c
)
30 fndm 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  |`  c )  Fn  c  ->  dom  ( H  |`  c )  =  c )
3124, 25, 29, 304syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  ( H  |`  c )  =  c )
3223, 31eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  =  c )
3332, 24eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  e.  On )
3432eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( a  e.  dom  z  <->  a  e.  c ) )
3534biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  e.  c )
36 simpll2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) ) )
37 simpl3l 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ph )
3837adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  ph )
39 onelss 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom  z  e.  On  ->  ( a  e.  dom  z  ->  a  C_  dom  z ) )
4033, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( a  e.  dom  z  ->  a  C_ 
dom  z ) )
4140imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  C_ 
dom  z )
42 simpl3r 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  c  C_  A )
4332, 42eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  C_  A )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  dom  z  C_  A )
4541, 44sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  C_  A )
46 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  (
d  C_  A  <->  a  C_  A ) )
4746anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  a  ->  (
( ph  /\  d  C_  A )  <->  ( ph  /\  a  C_  A )
) )
48 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  ( H `  d )  =  ( H `  a ) )
49 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  ( R1 `  d )  =  ( R1 `  a
) )
5048, 49weeq12d 27116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  a  ->  (
( H `  d
)  We  ( R1
`  d )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
5147, 50imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  a  ->  (
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  <-> 
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( H `  a
)  We  ( R1
`  a ) ) ) )
5251rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  c  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) ) )  -> 
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( H `  a
)  We  ( R1
`  a ) ) )
5352imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  c  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) ) )  /\  ( ph  /\  a  C_  A )
)  ->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) )
5435, 36, 38, 45, 53syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a
) )
55 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  (
z `  a )  =  ( ( H  |`  c ) `  a
) )
5655ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  =  ( ( H  |`  c ) `  a
) )
57 fvres 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  c  ->  (
( H  |`  c
) `  a )  =  ( H `  a ) )
5835, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
( H  |`  c
) `  a )  =  ( H `  a ) )
5956, 58eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  =  ( H `  a ) )
60 weeq1 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z `  a )  =  ( H `  a )  ->  (
( z `  a
)  We  ( R1
`  a )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
( z `  a
)  We  ( R1
`  a )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
6254, 61mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  We  ( R1 `  a
) )
6362ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A. a  e.  dom  z ( z `
 a )  We  ( R1 `  a
) )
6437, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A  e.  On )
65 aomclem6.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  (
y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
6637, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  ( y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
6716, 17, 18, 19, 20, 21, 33, 63, 64, 43, 66aomclem5 27135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  G  We  ( R1 `  dom  z
) )
6832fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( R1 ` 
dom  z )  =  ( R1 `  c
) )
69 weeq2 4573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  dom  z
)  =  ( R1
`  c )  -> 
( G  We  ( R1 `  dom  z )  <-> 
G  We  ( R1
`  c ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( G  We  ( R1 `  dom  z )  <->  G  We  ( R1 `  c ) ) )
7167, 70mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  G  We  ( R1 `  c ) )
7271ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  (
z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1 `  c
) ) )
7372alrimiv 1642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  A. z
( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) ) )
74 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ d ( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) )
75 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  d  =  ( H  |`  c )
76 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z
[. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )
7775, 76nfim 1833 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
78 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  d  ->  (
z  =  ( H  |`  c )  <->  d  =  ( H  |`  c ) ) )
79 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  d  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
8078, 79imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  d  ->  (
( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) ) )
8174, 77, 80cbval 1983 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  ( H  |`  c
)  ->  G  We  ( R1 `  c ) )  <->  A. d ( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
) ) )
8273, 81sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  A. d
( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
83 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . 10  |-  F/ d
[. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )
84 fnfun 5544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  Fn  On  ->  Fun  H )
8527, 84ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  H
86 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
_V
87 resfunexg 5959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  H  /\  c  e.  _V )  ->  ( H  |`  c )  e. 
_V )
8885, 86, 87mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  c )  e.  _V
89 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( H  |`  c )  ->  ( [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )  <->  [. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
9083, 88, 89ceqsal 2983 . . . . . . . . 9  |-  ( A. d ( d  =  ( H  |`  c
)  ->  [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )  <->  [. ( H  |`  c
)  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
9182, 90sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [. ( H  |`  c )  / 
d ]. [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
92 sbcco 3185 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
9391, 92sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [. ( H  |`  c )  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
94 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z [_ ( H  |`  c
)  /  z ]_ G
95 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( R1 `  c
)
9694, 95nfwe 4560 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
[_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c )
97 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G )
98 weeq1 4572 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
10096, 99sbciegf 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  c )  e.  _V  ->  ( [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
10188, 100ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) )
10293, 101sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  We  ( R1 `  c ) )
103 recsval 6664 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  On  ->  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) ) `
 c )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) ) )
10426fveq1i 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 c )  =  (recs ( ( z  e.  _V  |->  G ) ) `  c )
105 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R1
`  dom  z )  e.  _V
106105, 105xpex 4992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  dom  z
)  X.  ( R1
`  dom  z )
)  e.  _V
107106inex2 4347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  ( ( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )  e.  _V
10821, 107eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  e. 
_V
10988, 108csbex 3264 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  e.  _V
110 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  |->  G )  =  ( z  e. 
_V  |->  G )
111110fvmpts 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H  |`  c
)  e.  _V  /\  [_ ( H  |`  c
)  /  z ]_ G  e.  _V )  ->  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  =  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G )
11288, 109, 111mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  = 
[_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G
11326reseq1i 5144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  |`  c )  =  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c )
114113fveq2i 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) )
115112, 114eqtr3i 2460 . . . . . . . . 9  |-  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  =  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) )
116103, 104, 1153eqtr4g 2495 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  On  ->  ( H `  c )  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G )
117 weeq1 4572 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  c )  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  ->  ( ( H `  c )  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  On  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
1191183ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
120102, 119mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  ( H `  c )  We  ( R1 `  c
) )
1211203exp 1153 . . . 4  |-  ( c  e.  On  ->  ( A. d  e.  c 
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  ->  ( ( ph  /\  c  C_  A )  ->  ( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) ) ) )
1229, 15, 121tfis3 4839 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A
) ) )
1233, 122mpcom 35 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A ) )
1241, 123mpan2 654 1  |-  ( ph  ->  ( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163   [_csb 3253    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   |^|cint 4052   class class class wbr 4214   {copab 4267    e. cmpt 4268    _E cep 4494    We wwe 4542   Oncon0 4583   suc csuc 4585    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  recscrecs 6634   Fincfn 7111   supcsup 7447   R1cr1 7690   rankcrnk 7691
This theorem is referenced by:  aomclem7  27137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-fin 7115  df-sup 7448  df-r1 7692  df-rank 7693
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