Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aoprssdm Unicode version

Theorem aoprssdm 28062
Description: Domain of closure of an operation. In contrast to oprssdm 6002, no additional property for S (
-.  (/)  e.  S) is required! (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aoprssdm.1  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> (( x F y))  e.  S )
Assertion
Ref Expression
aoprssdm  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y

Proof of Theorem aoprssdm
StepHypRef Expression
1 relxp 4794 . 2  |-  Rel  ( S  X.  S )
2 opelxp 4719 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )
3 df-aov 27976 . . . . 5  |- (( x F y))  =  ( F''' <.
x ,  y >.
)
4 aoprssdm.1 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> (( x F y))  e.  S )
53, 4syl5eqelr 2368 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( F''' <. x ,  y
>. )  e.  S
)
6 afvvdm 28004 . . . 4  |-  ( ( F''' <. x ,  y
>. )  e.  S  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
82, 7sylbi 187 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
91, 8relssi 4778 1  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689  '''cafv 27972   ((caov 27973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-dfat 27974  df-afv 27975  df-aov 27976
  Copyright terms: Public domain W3C validator