Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aovmpt4g Structured version   Unicode version

Theorem aovmpt4g 28022
Description: Value of a function given by the "maps to" notation, analogous to ovmpt4g 6188. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aovmpt4g.3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
aovmpt4g  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem aovmpt4g
StepHypRef Expression
1 aovmpt4g.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21dmmpt2g 27940 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  dom  F  =  ( A  X.  B ) )
3 opelxpi 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) )
4 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  ( A  X.  B )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  dom  F  <->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
53, 4syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  ( A  X.  B )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F ) )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F ) )
76impcom 420 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  C  e.  V )  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
873impa 1148 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
91mpt2fun 6164 . . . 4  |-  Fun  F
10 funres 5484 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y
>. } ) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } )
12 df-dfat 27931 . . . 4  |-  ( F defAt  <. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } ) ) )
13 aovfundmoveq 28002 . . . 4  |-  ( F defAt  <. x ,  y >.  -> (( x F y))  =  ( x F y ) )
1412, 13sylbir 205 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } ) )  -> (( x F
y))  =  ( x F y ) )
158, 11, 14sylancl 644 . 2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  ( x F y ) )
161ovmpt4g 6188 . 2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  ->  ( x F y )  =  C )
1715, 16eqtrd 2467 1  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806   <.cop 3809    X. cxp 4868   dom cdm 4870    |` cres 4872   Fun wfun 5440  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   defAt wdfat 27928   ((caov 27930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-dfat 27931  df-afv 27932  df-aov 27933
  Copyright terms: Public domain W3C validator