Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aovmpt4g Unicode version

Theorem aovmpt4g 28169
Description: Value of a function given by the "maps to" notation, analogous to ovmpt4g 5986. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aovmpt4g.3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
aovmpt4g  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem aovmpt4g
StepHypRef Expression
1 aovmpt4g.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21dmmpt2g 28086 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  dom  F  =  ( A  X.  B ) )
3 opelxpi 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) )
4 eleq2 2357 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  ( A  X.  B )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  dom  F  <->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
53, 4syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  ( A  X.  B )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F ) )
62, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( C  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F ) )
76impcom 419 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  C  e.  V )  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
873impa 1146 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
91mpt2fun 5962 . . . 4  |-  Fun  F
10 funres 5309 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y
>. } ) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } )
12 df-dfat 28077 . . . 4  |-  ( F defAt  <. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } ) ) )
13 aovfundmoveq 28149 . . . 4  |-  ( F defAt  <. x ,  y >.  -> (( x F y))  =  ( x F y ) )
1412, 13sylbir 204 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } ) )  -> (( x F
y))  =  ( x F y ) )
158, 11, 14sylancl 643 . 2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  ( x F y ) )
161ovmpt4g 5986 . 2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  ->  ( x F y )  =  C )
1715, 16eqtrd 2328 1  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653   <.cop 3656    X. cxp 4703   dom cdm 4705    |` cres 4707   Fun wfun 5265  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   defAt wdfat 28074   ((caov 28076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-dfat 28077  df-afv 28078  df-aov 28079
  Copyright terms: Public domain W3C validator