Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aovmpt4g Unicode version

Theorem aovmpt4g 28061
Description: Value of a function given by the "maps to" notation, analogous to ovmpt4g 5970. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aovmpt4g.3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
aovmpt4g  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem aovmpt4g
StepHypRef Expression
1 aovmpt4g.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21dmmpt2g 27981 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  dom  F  =  ( A  X.  B ) )
3 opelxpi 4721 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) )
4 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  ( A  X.  B )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  dom  F  <->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
53, 4syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  ( A  X.  B )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F ) )
62, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( C  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F ) )
76impcom 419 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  C  e.  V )  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
873impa 1146 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
91mpt2fun 5946 . . . 4  |-  Fun  F
10 funres 5293 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y
>. } ) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } )
12 df-dfat 27974 . . . 4  |-  ( F defAt  <. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } ) ) )
13 aovfundmoveq 28041 . . . 4  |-  ( F defAt  <. x ,  y >.  -> (( x F y))  =  ( x F y ) )
1412, 13sylbir 204 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { <. x ,  y >. } ) )  -> (( x F
y))  =  ( x F y ) )
158, 11, 14sylancl 643 . 2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  ( x F y ) )
161ovmpt4g 5970 . 2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  ->  ( x F y )  =  C )
1715, 16eqtrd 2315 1  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  C  e.  V )  -> (( x F y))  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   Fun wfun 5249  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   defAt wdfat 27971   ((caov 27973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-dfat 27974  df-afv 27975  df-aov 27976
  Copyright terms: Public domain W3C validator