Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aovprc Structured version   Unicode version

Theorem aovprc 28030
Description: The value of an operation when the one of the arguments is a proper class, analogous to ovprc 6110. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aovprc.1  |-  Rel  dom  F
Assertion
Ref Expression
aovprc  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> (( A F B))  =  _V )

Proof of Theorem aovprc
StepHypRef Expression
1 df-aov 27954 . 2  |- (( A F B))  =  ( F''' <. A ,  B >. )
2 df-br 4215 . . . . 5  |-  ( A dom  F  B  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  F
)
3 aovprc.1 . . . . . 6  |-  Rel  dom  F
4 brrelex12 4917 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  dom  F  /\  A dom  F  B )  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
53, 4mpan 653 . . . . 5  |-  ( A dom  F  B  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
62, 5sylbir 206 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  F  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
76con3i 130 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  -.  <. A ,  B >.  e.  dom  F )
8 ndmafv 27982 . . 3  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e. 
dom  F  ->  ( F''' <. A ,  B >. )  =  _V )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F''' <. A ,  B >. )  =  _V )
101, 9syl5eq 2482 1  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> (( A F B))  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   <.cop 3819   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   Rel wrel 4885  '''cafv 27950   ((caov 27951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-xp 4886  df-rel 4887  df-fv 5464  df-dfat 27952  df-afv 27953  df-aov 27954
  Copyright terms: Public domain W3C validator