Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aovprc Unicode version

Theorem aovprc 28048
Description: The value of an operation when the one of the arguments is a proper class, analogous to ovprc 5885. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aovprc.1  |-  Rel  dom  F
Assertion
Ref Expression
aovprc  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> (( A F B))  =  _V )

Proof of Theorem aovprc
StepHypRef Expression
1 df-aov 27976 . 2  |- (( A F B))  =  ( F''' <. A ,  B >. )
2 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( A dom  F  B  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  F
)
3 aovprc.1 . . . . . 6  |-  Rel  dom  F
4 brrelex12 4726 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  dom  F  /\  A dom  F  B )  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
53, 4mpan 651 . . . . 5  |-  ( A dom  F  B  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
62, 5sylbir 204 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  F  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
76con3i 127 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  -.  <. A ,  B >.  e.  dom  F )
8 ndmafv 28003 . . 3  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e. 
dom  F  ->  ( F''' <. A ,  B >. )  =  _V )
97, 8syl 15 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F''' <. A ,  B >. )  =  _V )
101, 9syl5eq 2327 1  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> (( A F B))  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   Rel wrel 4694  '''cafv 27972   ((caov 27973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-dfat 27974  df-afv 27975  df-aov 27976
  Copyright terms: Public domain W3C validator