MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arch Unicode version

Theorem arch 9959
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Distinct variable group:    A, n
Dummy variable  y is distinct from all other variables.

Proof of Theorem arch
StepHypRef Expression
1 breq1 4029 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  <  n  <->  A  <  n ) )
21rexbidv 2567 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  y  <  n  <->  E. n  e.  NN  A  <  n
) )
3 nnunb 9958 . . . 4  |-  -.  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
4 ralnex 2556 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -. 
E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )
)
53, 4mpbir 202 . . 3  |-  A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
6 rexnal 2557 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
7 nnre 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
8 axlttri 8891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
97, 8sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
10 eqcom 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  n  <->  n  =  y )
1110orbi1i 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  =  y  \/  n  <  y
) )
12 orcom 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  y  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1311, 12bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1413notbii 289 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
)  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
159, 14syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
) ) )
1615biimprd 216 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  -> 
y  <  n )
)
1716reximdva 2658 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
)  ->  E. n  e.  NN  y  <  n
) )
186, 17syl5bir 211 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y )  ->  E. n  e.  NN  y  <  n ) )
1918ralimia 2619 . . 3  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  ->  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n )
205, 19ax-mp 10 . 2  |-  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n
212, 20vtoclri 2861 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687   A.wral 2546   E.wrex 2547   class class class wbr 4026   RRcr 8733    < clt 8864   NNcn 9743
This theorem is referenced by:  nnrecl  9960  bndndx  9961  btwnz  10111  uzwo3  10308  zmin  10309  rpnnen1lem5  10343  harmonic  12313  alzdvds  12574  ovolicc2lem4  18875  volsup2  18956  ismbf3d  19005  mbfi1fseqlem6  19071  itg2seq  19093  itg2cnlem1  19112  ply1divex  19518  plydivex  19673  ubthlem1  21443  lnconi  22607  hbtlem5  26733  rfcnnnub  27108  stoweidlem14  27164  stoweidlem60  27210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-nn 9744
  Copyright terms: Public domain W3C validator