Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  archnq Structured version   Unicode version

Theorem archnq 8849
 Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
archnq
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem archnq
StepHypRef Expression
1 elpqn 8794 . . . 4
2 xp1st 6368 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 1pi 8752 . . 3
5 addclpi 8761 . . 3
63, 4, 5sylancl 644 . 2
7 xp2nd 6369 . . . . . 6
81, 7syl 16 . . . . 5
9 mulclpi 8762 . . . . 5
106, 8, 9syl2anc 643 . . . 4
11 eqid 2435 . . . . . . 7
12 oveq2 6081 . . . . . . . . 9
1312eqeq1d 2443 . . . . . . . 8
1413rspcev 3044 . . . . . . 7
154, 11, 14mp2an 654 . . . . . 6
16 ltexpi 8771 . . . . . 6
1715, 16mpbiri 225 . . . . 5
183, 6, 17syl2anc 643 . . . 4
19 nlt1pi 8775 . . . . 5
20 ltmpi 8773 . . . . . . 7
216, 20syl 16 . . . . . 6
22 mulidpi 8755 . . . . . . . 8
236, 22syl 16 . . . . . . 7
2423breq2d 4216 . . . . . 6
2521, 24bitrd 245 . . . . 5
2619, 25mtbii 294 . . . 4
27 ltsopi 8757 . . . . 5
28 ltrelpi 8758 . . . . 5
2927, 28sotri3 5256 . . . 4
3010, 18, 26, 29syl3anc 1184 . . 3
31 pinq 8796 . . . . . 6
326, 31syl 16 . . . . 5
33 ordpinq 8812 . . . . 5
3432, 33mpdan 650 . . . 4
35 ovex 6098 . . . . . . . 8
364elexi 2957 . . . . . . . 8
3735, 36op2nd 6348 . . . . . . 7
3837oveq2i 6084 . . . . . 6
39 mulidpi 8755 . . . . . . 7
403, 39syl 16 . . . . . 6
4138, 40syl5eq 2479 . . . . 5
4235, 36op1st 6347 . . . . . . 7
4342oveq1i 6083 . . . . . 6
4443a1i 11 . . . . 5
4541, 44breq12d 4217 . . . 4
4634, 45bitrd 245 . . 3
4730, 46mpbird 224 . 2
48 opeq1 3976 . . . 4
4948breq2d 4216 . . 3
5049rspcev 3044 . 2
516, 47, 50syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  c1o 6709  cnpi 8711   cpli 8712   cmi 8713   clti 8714  cnq 8719   cltq 8725 This theorem is referenced by:  prlem934  8902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-ltpq 8779  df-nq 8781  df-ltnq 8787
 Copyright terms: Public domain W3C validator