Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirclem2 Unicode version

Theorem areacirclem2 24925
Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    t, R

Proof of Theorem areacirclem2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
21prid1 3734 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
32a1i 10 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  RR  e.  { RR ,  CC }
)
4 elioore 10686 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  t  e.  RR )
54recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  t  e.  CC )
65adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
t  e.  CC )
7 rpcn 10362 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  e.  CC )
9 rpne0 10369 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  =/=  0 )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  =/=  0 )
116, 8, 10divcld 9536 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  CC )
12 asincl 20169 . . . . 5  |-  ( ( t  /  R )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( t  /  R
) )  e.  CC )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
(arcsin `  ( t  /  R ) )  e.  CC )
14 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1514a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
1  e.  CC )
1611sqcld 11243 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  CC )
1715, 16subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  CC )
1817sqrcld 11919 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1911, 18mulcld 8855 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2013, 19addcld 8854 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( (arcsin `  (
t  /  R ) )  +  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
21 ovex 5883 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R
) )  e.  _V
2221a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) )  e.  _V )
23 rpre 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
2423renegcld 9210 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR )
2524rexrd 8881 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR* )
26 rpxr 10361 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
27 elioo2 10697 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u R  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
29 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
3023adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
319adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  =/=  0 )
3229, 30, 31redivcld 9588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  /  R )  e.  RR )
3332a1d 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( t  /  R )  e.  RR ) )
347mulm1d 9231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1  x.  R )  =  -u R )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  R )  =  -u R )
3635breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u 1  x.  R
)  <  t  <->  -u R  < 
t ) )
37 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
3837renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  RR
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
40 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
4139, 29, 40ltmuldivd 10433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u 1  x.  R
)  <  t  <->  -u 1  < 
( t  /  R
) ) )
4236, 41bitr3d 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u R  <  t  <->  -u 1  < 
( t  /  R
) ) )
4342biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u R  <  t  ->  -u 1  <  ( t  /  R ) ) )
4443adantrd 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  -u 1  <  (
t  /  R ) ) )
4537a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
4629, 45, 40ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
)  <  1  <->  t  <  ( R  x.  1 ) ) )
477mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
4948breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  ( R  x.  1 )  <->  t  <  R ) )
5046, 49bitr2d 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  R  <->  ( t  /  R )  <  1
) )
5150biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  R  ->  ( t  /  R )  <  1 ) )
5251adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( t  /  R )  <  1
) )
5333, 44, 523jcad 1133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) ) )
5453exp4b 590 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <  t  -> 
( t  <  R  ->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) ) ) )
55543impd 1165 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  <  R )  -> 
( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) )
5628, 55sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  (
( t  /  R
)  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) )
5756imp 418 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) )
5838rexri 8884 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR*
5937rexri 8884 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
60 elioo2 10697 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( t  /  R )  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) ) )
6158, 59, 60mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( t  /  R )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( (
t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) )
6257, 61sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
63 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( 1  /  R )  e. 
_V
6463a1i 10 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  _V )
65 elioore 10686 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  u  e.  RR )
6665recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  u  e.  CC )
67 asincl 20169 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  CC  ->  (arcsin `  u )  e.  CC )
68 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  CC  ->  u  e.  CC )
6914a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  CC  ->  1  e.  CC )
70 sqcl 11166 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
7169, 70subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
7271sqrcld 11919 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
7368, 72mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
7467, 73addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( u  e.  CC  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
7566, 74syl 15 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
7675adantl 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( (arcsin `  u
)  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
77 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
7877a1i 10 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
79 recn 8827 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
8079adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
8114a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
823dvmptid 19306 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
83 ioossre 10712 . . . . . . 7  |-  ( -u R (,) R )  C_  RR
8483a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R (,) R )  C_  RR )
85 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8685tgioo2 18309 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
87 iooretop 18275 . . . . . . 7  |-  ( -u R (,) R )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
8887a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R (,) R )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
893, 80, 81, 82, 84, 86, 85, 88dvmptres 19312 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  1 ) )
903, 6, 15, 89, 7, 9dvmptdivc 19314 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( t  /  R ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( 1  /  R ) ) )
9166, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  u )  e.  CC )
9291adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
(arcsin `  u )  e.  CC )
93 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
9493a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
95 dvreasin 24923 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
96 asinf 20168 . . . . . . . . . 10  |- arcsin : CC --> CC
9796a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  -> arcsin : CC --> CC )
98 ioossre 10712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
99 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
10098, 99sstri 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
101100a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC )
10297, 101feqresmpt 5576 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) )
103102oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) ) )
10495, 103syl5reqr 2330 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
10566, 73syl 15 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
106105adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
107 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  e.  _V
108107a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  e.  _V )
10966adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  u  e.  CC )
11014a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
1  e.  CC )
111 recn 8827 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  CC )
112111adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  CC )
11314a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
1143dvmptid 19306 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  u ) )  =  ( u  e.  RR  |->  1 ) )
11598a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR )
116 iooretop 18275 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
117116a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1183, 112, 113, 114, 115, 86, 85, 117dvmptres 19312 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  u ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  1 ) )
11966, 72syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
120119adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
121 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
122121a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
12337a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
12465resqcld 11271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
125123, 124resubcld 9211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  RR )
126 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( u  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) ) )
12758, 59, 126mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) )
128 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  RR )
12937a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  1  e.  RR )
130128, 129absltd 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  ( -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) ) )
131111abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  ( abs `  u )  e.  RR )
132111absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  u
) )
133 0le1 9297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  1 )
135131, 129, 132, 134lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  ( ( abs `  u ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
136 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
137 sq1 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
138137a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
139136, 138breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( ( abs `  u
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( u ^ 2 )  <  1 ) )
140 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
141140, 129posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( u ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
142135, 139, 1413bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
143130, 142bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  u  /\  u  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
144143biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  u  /\  u  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
1451443impib 1149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )
146127, 145sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) )
147125, 146elrpd 10388 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  RR+ )
148147adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  e.  RR+ )
149 negex 9050 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
2  x.  u )  e.  _V
150149a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  -u ( 2  x.  u
)  e.  _V )
151 rpcn 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  RR+  ->  v  e.  CC )
152151sqrcld 11919 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  RR+  ->  ( sqr `  v )  e.  CC )
153152adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  v )  e.  CC )
154 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  e. 
_V
155154a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  e. 
_V )
15614a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  1  e.  CC )
157111sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
158156, 157subcld 9157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  RR  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
159158adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
160149a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  -u (
2  x.  u )  e.  _V )
161 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
162161a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
16314a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  1  e.  CC )
1643, 163dvmptc 19307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( u  e.  RR  |->  0 ) )
165157adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
166 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  u )  e. 
_V
167166a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
2  x.  u )  e.  _V )
16885cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
169 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
170168, 169mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
171 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
17299, 171mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
i^i  CC )  =  RR
173172a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
i^i  CC )  =  RR )
17470adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  CC )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
175166a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  CC )  ->  (
2  x.  u )  e.  _V )
176 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
177 dvexp 19302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
178176, 177ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^ (
2  -  1 ) ) ) )
179 2m1e1 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
180179oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( u ^ 1 )
181 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ 1 )  =  u )
182180, 181syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ ( 2  -  1 ) )  =  u )
183182oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  CC  ->  (
2  x.  ( u ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  u ) )
184183mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) )
185178, 184eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) )
186185a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) ) )
18785, 3, 170, 173, 174, 175, 186dvmptres3 19305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 2  x.  u ) ) )
1883, 113, 162, 164, 165, 167, 187dvmptsub 19316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  u
) ) ) )
189 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
2  x.  u )  =  ( 0  -  ( 2  x.  u
) )
190189mpteq2i 4103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  RR  |->  -u (
2  x.  u ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  u ) ) )
191188, 190syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  -u ( 2  x.  u ) ) )
1923, 159, 160, 191, 115, 86, 85, 117dvmptres 19312 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  -u (
2  x.  u ) ) )
193 dvsqr 20084 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( v  e.  RR+  |->  ( sqr `  v
) ) )  =  ( v  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  v ) ) ) )
194193a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( v  e.  RR+  |->  ( sqr `  v
) ) )  =  ( v  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  v ) ) ) ) )
195 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  v )  =  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
196195oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  v ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
197196oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
1983, 3, 148, 150, 153, 155, 192, 194, 195, 197dvmptco 19321 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u
) ) ) )
199 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
200199a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  e.  CC )
201200, 66mulneg2d 9233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  -u u
)  =  -u (
2  x.  u ) )
202201oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  u )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
20366negcld 9144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u u  e.  CC )
204146gt0ne0d 9337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  =/=  0 )
20566, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
206205adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
207 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )
208206, 207sqr00d 11923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  =  0 )
209208ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  =  0 ) )
210209necon3d 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  =/=  0  -> 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
211204, 210mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
212 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
213212a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  =/=  0 )
214203, 119, 200, 211, 213divcan5d 9562 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
215200, 66mulcld 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  u )  e.  CC )
216215negcld 9144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
2  x.  u )  e.  CC )
217200, 119mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
218200, 119, 213, 211mulne0d 9420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
219216, 217, 218divrec2d 9540 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( 2  x.  u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  u ) ) )
220202, 214, 2193eqtr3rd 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u ) )  =  ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
221220mpteq2ia 4102 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u
) ) )  =  ( u  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
222198, 221syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
2233, 109, 110, 118, 120, 122, 222dvmptmul 19310 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) )
2243, 92, 94, 104, 106, 108, 223dvmptadd 19309 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( (arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) ) )
225119mulid2d 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
226203, 119, 211divcld 9536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
227226, 66mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u )  =  ( u  x.  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
22866, 203, 119, 211divassd 9571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( u  x.  -u u
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  x.  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
22966, 66mulneg2d 9233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  -u u
)  =  -u (
u  x.  u ) )
23066sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  =  ( u  x.  u ) )
231230negeqd 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
u ^ 2 )  =  -u ( u  x.  u ) )
232229, 231eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  -u u
)  =  -u (
u ^ 2 ) )
233232oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( u  x.  -u u
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
234227, 228, 2333eqtr2d 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u )  =  ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
235225, 234oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
23666sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
237236negcld 9144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
u ^ 2 )  e.  CC )
238237, 119, 211divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
239119, 238addcomd 9014 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
240235, 239eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  =  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) )
241240oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) ) )
2421192timesd 9954 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )
24369, 70negsubd 9163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )
24471sqsqrd 11921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )
24572sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
246243, 244, 2453eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
24766, 246syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
248247oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  +  -u ( u ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
24914a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  CC )
250249, 237, 119, 211divdird 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  +  -u ( u ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
251119, 119, 211divcan3d 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) )
252248, 250, 2513eqtr3rd 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
253252oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )
254119, 211reccld 9529 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
255254, 238, 119addassd 8857 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) ) )
256242, 253, 2553eqtrrd 2320 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
257241, 256eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
258257mpteq2ia 4102 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
259224, 258syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( (arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
260 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (arcsin `  u )  =  (arcsin `  ( t  /  R
) ) )
261 id 19 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  u  =  ( t  /  R ) )
262 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
u ^ 2 )  =  ( ( t  /  R ) ^
2 ) )
263262oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )
264263fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
265261, 264oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
266260, 265oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( (arcsin `  (
t  /  R ) )  +  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
267264oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
2683, 3, 62, 64, 76, 78, 90, 259, 266, 267dvmptco 19321 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) ) )
2697sqcld 11243 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
2703, 20, 22, 268, 269dvmptcmul 19313 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) ) ) ) )
271199a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
2  e.  CC )
272271, 18mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2737, 9reccld 9529 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 1  /  R )  e.  CC )
274273adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  CC )
275272, 274mulcomd 8856 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
276275oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
277269adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  CC )
278277, 274, 272mulassd 8858 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
2797sqvald 11242 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =  ( R  x.  R
) )
280279oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  /  R )  =  ( ( R  x.  R )  /  R
) )
281269, 7, 9divrecd 9539 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  /  R )  =  ( ( R ^
2 )  x.  (
1  /  R ) ) )
2827, 7, 9divcan3d 9541 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R  x.  R )  /  R )  =  R )
283280, 281, 2823eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R ) )  =  R )
284283adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  /  R ) )  =  R )
285284oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( R  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2868, 271, 18mul12d 9021 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
28723resqcld 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
288287adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  RR )
28923sqge0d 11272 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
( R ^ 2 ) )
290289adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <_  ( R ^ 2 ) )
29137a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
1  e.  RR )
2924adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
t  e.  RR )
29323adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  e.  RR )
294292, 293, 10redivcld 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  RR )
295294resqcld 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  RR )
296291, 295resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  RR )
297161a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  e.  RR )
29829, 30absltd 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  ( -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
29979abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
300299adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
30179absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
302301adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
303 rpge0 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
304303adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
305300, 30, 302, 304lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <  ( R ^ 2 ) ) )
306 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
307306adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
308269adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
309308mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  x.  1 )  =  ( R ^
2 ) )
310309eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  =  ( ( R ^
2 )  x.  1 ) )
311307, 310breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  t
) ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  ( t ^ 2 )  < 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
3127adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
31380, 312, 31sqdivd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) )
314313breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <  1  <->  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <  1 ) )
31532resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  e.  RR )
316315, 45posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
317 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
318317adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
319 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
320161a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
321 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  <_  0
322321a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
323320, 23, 322, 303lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  ( 0 ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) ) )
324 sq0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
325324a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0 ^ 2 )  =  0 )
326325breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
327323, 326bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
328319, 327mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
( R ^ 2 ) )
329287, 328elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
330329adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
331318, 45, 330ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t ^
2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <  1  <->  ( t ^ 2 )  < 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
332314, 316, 3313bitr3rd 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  <  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
333305, 311, 3323bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
334298, 333bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
335334biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  0  <  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
336335exp4b 590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <  t  -> 
( t  <  R  ->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) ) ) )
3373363impd 1165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  <  R )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
33828, 337sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  0  <  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )
339338imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
340297, 296, 339ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
341288, 290, 296, 340sqrmuld 11907 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
342277, 15, 16subdid 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
343277mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  1 )  =  ( R ^ 2 ) )
3446, 8, 10sqdivd 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  /  ( R ^
2 ) ) )
345344oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) ) )
3465sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  (
t ^ 2 )  e.  CC )
347346adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t ^ 2 )  e.  CC )
348 sqne0 11170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  CC  ->  (
( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
3497, 348syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
3509, 349mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =/=  0 )
351350adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  =/=  0 )
352347, 277, 351divcan2d 9538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) ) )  =  ( t ^ 2 ) )
353345, 352eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( t ^ 2 ) )
354343, 353oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  (
( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
355342, 354eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
356355fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
35723, 303sqrsqd 11902 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
358357adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
359358oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )
360341, 356, 3593eqtr3rd 2324 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
361360oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 2  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
362285, 286, 3613eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
363276, 278, 3623eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
364363mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
365270, 364eqtrd 2315 1  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    _D cdv 19213  arcsincasin 20158
This theorem is referenced by:  areacirc  24931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-asin 20161
  Copyright terms: Public domain W3C validator