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Theorem areacirclem5 24929
Description: Endpoint-inclusive continuity of antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    t, R

Proof of Theorem areacirclem5
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21mulcn 18371 . . 3  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
32a1i 10 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4 rpcn 10362 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
54sqcld 11243 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
6 rpre 10360 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
76renegcld 9210 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR )
8 iccssre 10731 . . . . 5  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( -u R [,] R )  C_  RR )
97, 6, 8syl2anc 642 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R [,] R )  C_  RR )
10 ax-resscn 8794 . . . 4  |-  RR  C_  CC
119, 10syl6ss 3191 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R [,] R )  C_  CC )
12 ssid 3197 . . . 4  |-  CC  C_  CC
1312a1i 10 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  CC  C_  CC )
14 cncfmptc 18415 . . 3  |-  ( ( ( R ^ 2 )  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( R ^ 2 ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
155, 11, 13, 14syl3anc 1182 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( R ^ 2 ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
161addcn 18369 . . . 4  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1716a1i 10 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1811sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
t  e.  CC )
194adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  R  e.  CC )
20 rpne0 10369 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  =/=  0 )
2120adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  R  =/=  0 )
2218, 19, 21divcld 9536 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  CC )
23 asinval 20178 . . . . . . 7  |-  ( ( t  /  R )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( t  /  R
) )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
2422, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
(arcsin `  ( t  /  R ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
25 ax-icn 8796 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
2625a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  _i  e.  CC )
2726, 22mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  e.  CC )
28 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
1  e.  CC )
3022sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  CC )
3129, 30subcld 9157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  CC )
3231sqrcld 11919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
3327, 32addcld 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
34 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
35 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
t  =  0 )
3635oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( t  /  R
)  =  ( 0  /  R ) )
374, 20div0d 9535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  /  R )  =  0 )
38373ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  /  R
)  =  0 )
3936, 38eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( t  /  R
)  =  0 )
4039oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
4125mul01i 9002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
4240, 41syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  0 )
4339oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
4443oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( 0 ^ 2 ) ) )
4544fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( 1  -  (
0 ^ 2 ) ) ) )
46 sq0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
4746oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  -  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 1  -  0 )
4828subid1i 9118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  -  0 )  =  1
4947, 48eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  ( 0 ^ 2 ) )  =  1
5049fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
0 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  1 )
51 sqr1 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sqr `  1 )  =  1
5250, 51eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
0 ^ 2 ) ) )  =  1
5345, 52syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
5442, 53oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( 0  +  1 ) )
55 0p1e1 9839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5654, 55syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  1 )
5756breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  <  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <->  0  <  1 ) )
58 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
60 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
1  e.  RR )
6256, 61eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
6359, 62ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  <  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <->  -.  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
6457, 63bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  -> 
( 0  <  1  <->  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
6534, 64mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =  0 )  ->  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 )
66653expa 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =  0 )  ->  -.  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )
6766olcd 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =  0 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
68 inelr 9736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  _i  e.  RR
6927, 32pncand 9158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( t  /  R
) ) )
70693adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
t  /  R ) ) )
7170oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( R  / 
t ) )  =  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  x.  ( R  /  t ) ) )
7225a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  _i  e.  CC )
73223adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
t  /  R )  e.  CC )
7443ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  R  e.  CC )
75183adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  t  e.  CC )
76 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  t  =/=  0 )
7774, 75, 76divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  ( R  /  t )  e.  CC )
7872, 73, 77mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  x.  ( R  /  t ) )  =  ( _i  x.  ( ( t  /  R )  x.  ( R  /  t ) ) ) )
7971, 78eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( R  / 
t ) )  =  ( _i  x.  (
( t  /  R
)  x.  ( R  /  t ) ) ) )
80203ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  R  =/=  0 )
8175, 74, 76, 80divcan6d 9555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( t  /  R
)  x.  ( R  /  t ) )  =  1 )
8281oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
_i  x.  ( (
t  /  R )  x.  ( R  / 
t ) ) )  =  ( _i  x.  1 ) )
8372mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
_i  x.  1 )  =  _i )
8479, 82, 833eqtrrd 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  _i  =  ( ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  x.  ( R  /  t ) ) )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  _i  =  ( ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( R  / 
t ) ) )
86 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
8760a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
1  e.  RR )
889sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
t  e.  RR )
896adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  R  e.  RR )
9088, 89, 21redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  RR )
9190resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  RR )
9287, 91resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  RR )
93 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
947, 6, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
9560a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
96 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
976adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
9820adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  =/=  0 )
9996, 97, 98redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  /  R )  e.  RR )
10099resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  e.  RR )
10195, 100subge0d 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) )  <->  ( (
t  /  R ) ^ 2 )  <_ 
1 ) )
102 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
103102adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
1044adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
105103, 104, 98sqdivd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) )
106105breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <_  1  <->  ( (
t ^ 2 )  /  ( R ^
2 ) )  <_ 
1 ) )
107 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
108107adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
1096resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
110 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
11158a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
112 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  0  <_  0
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
114 rpge0 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
115111, 6, 113, 114lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  ( 0 ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) ) )
11646a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0 ^ 2 )  =  0 )
117116breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
118115, 117bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
119110, 118mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
( R ^ 2 ) )
120109, 119elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
122108, 95, 121ledivmuld 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t ^
2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <_  1  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
123 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
124123eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  =  ( ( abs `  t ) ^ 2 ) )
1255mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  =  ( R ^ 2 ) )
126124, 125breqan12rd 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <_  ( R ^ 2 ) ) )
127102abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
129102absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
130129adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
131114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
132128, 97, 130, 131le2sqd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <_  ( R ^ 2 ) ) )
13396, 97absled 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  ( -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
134126, 132, 1333bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  <->  ( -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
135122, 134bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t ^
2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <_  1  <->  ( -u R  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
136101, 106, 1353bitrrd 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <_  t  /\  t  <_  R )  <->  0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
137136biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <_  t  /\  t  <_  R )  ->  0  <_  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
138137exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <_  t  ->  ( t  <_  R  ->  0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
1391383impd 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <_  t  /\  t  <_  R )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
14094, 139sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )
141140imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
14292, 141resqrcld 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
1431423adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
144143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
14586, 144resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
14663ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  R  e.  RR )
147883adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  t  e.  RR )
148146, 147, 76redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  ( R  /  t )  e.  RR )
149148adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( R  / 
t )  e.  RR )
150145, 149remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  x.  ( R  /  t ) )  e.  RR )
15185, 150eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  _i  e.  RR )
152151ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R )  /\  t  =/=  0 )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  _i  e.  RR ) )
1531523expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =/=  0
)  ->  ( (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  _i  e.  RR ) )
15468, 153mtoi 169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =/=  0
)  ->  -.  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
155154orcd 381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  /\  t  =/=  0
)  ->  ( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
15667, 155pm2.61dane 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
157 ianor 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
158156, 157sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  -.  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
159 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
160 elioc2 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
161159, 58, 160mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
162 3simpb 953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  ->  (
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
163161, 162sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  ->  ( (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
164158, 163nsyl 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  -.  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
16533, 164eldifd 3163 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
166 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  ->  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
167165, 166syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
168167oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( -u _i  x.  (
( log  |`  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
16924, 168eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
(arcsin `  ( t  /  R ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
170169mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  (arcsin `  ( t  /  R
) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( -u _i  x.  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) `
 ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
17125negcli 9114 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
172171a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u _i  e.  CC )
173 cncfmptc 18415 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  -u _i )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
174172, 11, 13, 173syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  -u _i )  e.  ( ( -u R [,] R )
-cn-> CC ) )
1751cnfldtopon 18292 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
176175a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
177 resttopon 16892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( -u R [,] R ) 
C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  e.  (TopOn `  ( -u R [,] R ) ) )
178176, 11, 177syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  e.  (TopOn `  ( -u R [,] R ) ) )
179 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
180165, 179fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) : ( -u R [,] R ) --> ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
181 difssd 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC )
18218, 19, 21divrec2d 9540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  =  ( ( 1  /  R )  x.  t ) )
183182oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  ( _i  x.  ( ( 1  /  R )  x.  t ) ) )
1844, 20reccld 9529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 1  /  R )  e.  CC )
185184adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  CC )
18626, 185, 18mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( _i  x.  ( 1  /  R
) )  x.  t
)  =  ( _i  x.  ( ( 1  /  R )  x.  t ) ) )
187183, 186eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( _i  x.  (
t  /  R ) )  =  ( ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  x.  t ) )
188187mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( t  /  R ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  x.  t ) ) )
18925a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  _i  e.  CC )
190189, 184mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  e.  CC )
191 cncfmptc 18415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  (
1  /  R ) )  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
192190, 11, 13, 191syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
193 cncfmptid 18416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  t )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
19411, 13, 193syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  t )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
1951, 3, 192, 194cncfmpt2f 18418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( 1  /  R ) )  x.  t ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
196188, 195eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( _i  x.  ( t  /  R ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
19719, 32mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
198197, 19, 21divrec2d 9540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  /  R )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
19932, 19, 21divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  /  R )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
200109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  RR )
2016sqge0d 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
( R ^ 2 ) )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
0  <_  ( R ^ 2 ) )
203200, 202, 92, 141sqrmuld 11907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
2045adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  CC )
205204, 29, 30subdid 9235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
206204mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  1 )  =  ( R ^ 2 ) )
20718, 19, 21sqdivd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  /  ( R ^
2 ) ) )
208207oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) ) )
20918sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t ^ 2 )  e.  CC )
210 sqne0 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  CC  ->  (
( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
2114, 210syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
21220, 211mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =/=  0 )
213212adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R ^ 2 )  =/=  0 )
214209, 204, 213divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) ) )  =  ( t ^ 2 ) )
215208, 214eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( t ^ 2 ) )
216206, 215oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  (
( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
217205, 216eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
218217fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
219114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
0  <_  R )
22089, 219sqrsqd 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
221220oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )
222203, 218, 2213eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
223222oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( 1  /  R )  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
224198, 199, 2233eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
225224mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
226 cncfmptc 18415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  R
)  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( 1  /  R ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
227184, 11, 13, 226syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( 1  /  R ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
228 areacirclem4 24927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  -> 
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2296, 114, 228syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2301, 3, 227, 229cncfmpt2f 18418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
231225, 230eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2321, 17, 196, 231cncfmpt2f 18418 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
233 cncffvrn 18402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC  /\  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )  ->  (
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )  <-> 
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) : ( -u R [,] R ) --> ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
234181, 232, 233syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  (
t  /  R ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  <-> 
( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) : ( -u R [,] R ) --> ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
235180, 234mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
236 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )
237 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
2381, 236, 237cncfcn 18413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC )  -> 
( ( -u R [,] R ) -cn-> ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) ) )
23911, 181, 238syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( (
-u R [,] R
) -cn-> ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) ) )
240235, 239eleqtrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) ) )
241 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
242241logcn 19994 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )
243 difss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC
244 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
2451, 237, 244cncfcn 18413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
246243, 12, 245mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) )
247242, 246eleqtri 2355 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) )
248247a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
249178, 240, 248cnmpt11f 17358 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
2501, 236, 244cncfcn 18413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u R [,] R )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
25111, 13, 250syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u R [,] R ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  CC ) ) )
252249, 251eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2531, 3, 174, 252cncfmpt2f 18418 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( -u _i  x.  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) `  ( ( _i  x.  ( t  /  R ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
254170, 253eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  (arcsin `  ( t  /  R
) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
255224oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  /  R )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
256204, 209subcld 9157 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  CC )
257256sqrcld 11919 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  CC )
25822, 185, 257mulassd 8858 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( t  /  R )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  /  R )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
25918, 19, 21divrecd 9539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( t  /  R
)  =  ( t  x.  ( 1  /  R ) ) )
260259oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( ( t  x.  ( 1  /  R ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )
26118, 185, 185mulassd 8858 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) ) )
262260, 261eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) ) )
263262oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( ( t  /  R )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
264255, 258, 2633eqtr2d 2321 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R [,] R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
265264mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R [,] R
)  |->  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
266184, 184mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R ) )  e.  CC )
267 cncfmptc 18415 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  /  R )  x.  (
1  /  R ) )  e.  CC  /\  ( -u R [,] R
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( 1  /  R
)  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
268266, 11, 13, 267syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2691, 3, 194, 268cncfmpt2f 18418 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R
) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2701, 3, 269, 229cncfmpt2f 18418 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( t  x.  ( ( 1  /  R )  x.  ( 1  /  R ) ) )  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
271265, 270eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
2721, 17, 254, 271cncfmpt2f 18418 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( (
-u R [,] R
) -cn-> CC ) )
2731, 3, 15, 272cncfmpt2f 18418 1  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R [,] R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u R [,] R ) -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   [,]cicc 10659   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   -cn->ccncf 18380   logclog 19912  arcsincasin 20158
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-asin 20161
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