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Theorem areacirclem6 24930
Description: Finding the cross-section of a circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }
Assertion
Ref Expression
areacirclem6  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( S " { t } )  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( x, y)

Proof of Theorem areacirclem6
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . 4  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }
21imaeq1i 5009 . . 3  |-  ( S
" { t } )  =  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
" { t } )
3 vex 2791 . . . 4  |-  t  e. 
_V
4 imasng 5035 . . . 4  |-  ( t  e.  _V  ->  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } " { t } )  =  {
u  |  t {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) } u } )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
" { t } )  =  { u  |  t { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u }
6 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( t { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u  <->  <. t ,  u >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } )
7 vex 2791 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
8 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
x  e.  RR  <->  t  e.  RR ) )
98anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( t  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
10 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
x ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
1110oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1211breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 )  <->  ( (
t ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
139, 12anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) )  <->  ( (
t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
14 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
y  e.  RR  <->  u  e.  RR ) )
1514anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( y  =  u  ->  (
( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( t  e.  RR  /\  u  e.  RR ) ) )
16 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
y ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
1716oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
1817breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( t ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 )  <->  ( (
t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
1915, 18anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) )  <->  ( (
t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
203, 7, 13, 19opelopab 4286 . . . . 5  |-  ( <.
t ,  u >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  <->  ( ( t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) )
21 anass 630 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  RR  /\  u  e.  RR )  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )  <-> 
( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) )
226, 20, 213bitri 262 . . . 4  |-  ( t { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u  <->  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) )
2322abbii 2395 . . 3  |-  { u  |  t { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) } u }  =  { u  |  (
t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) }
242, 5, 233eqtri 2307 . 2  |-  ( S
" { t } )  =  { u  |  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) }
25 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
2625biantrurd 494 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )  <-> 
( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) ) )
2726abbidv 2397 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) }  =  { u  |  (
t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) ) } )
28 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
29283ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
30 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
31303ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
3229, 31resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  e.  RR )
3332adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  RR )
34 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
35343ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
3635breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  t
) ^ 2 )  <_  ( R ^
2 )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
37 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
3837abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
39383ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
40 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
4137absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
42413ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
43 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
4439, 40, 42, 43le2sqd 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <_  ( R ^ 2 ) ) )
4529, 31subge0d 9362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( R ^ 2 ) ) )
4636, 44, 453bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <_  R  <->  0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
4746biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  0  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )
4833, 47resqrcld 11900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
4948renegcld 9210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> 
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5049rexrd 8881 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  -> 
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
5148rexrd 8881 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
52 iccval 10695 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR*  /\  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e. 
RR* )  ->  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )  =  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) } )
5350, 51, 52syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  =  { u  e. 
RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
54 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  t )  <_  R  ->  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) )
5554adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  if ( ( abs `  t )  <_  R ,  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
56 absresq 11787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
5732recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) )  e.  CC )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) )  e.  CC )
5958sqsqrd 11921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )
6056, 59breqan12rd 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( u ^ 2 )  <_  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
61 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  CC )
6261abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  ( abs `  u )  e.  RR )
6362adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( abs `  u
)  e.  RR )
6448adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
6561absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  u
) )
6665adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  u ) )
6733, 47sqrge0d 11903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
6963, 64, 66, 68le2sqd 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( abs `  u )  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <->  ( ( abs `  u ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7031adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( t ^
2 )  e.  RR )
71 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
7271adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( u ^
2 )  e.  RR )
7329adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^
2 )  e.  RR )
7470, 72, 73leaddsub2d 9374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u ^
2 )  <_  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
7574adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u ^
2 )  <_  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
7660, 69, 753bitr4rd 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( abs `  u
)  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) )
77 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  RR )
7877, 64absled 11913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( abs `  u )  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <->  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
79 rexr 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  RR* )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  RR* )
8180biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )  <->  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8276, 78, 813bitrd 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  u  e.  RR )  ->  ( ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 )  <->  ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8382pm5.32da 622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
84 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR* )
8548adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
86 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -oo  e.  RR*
8786a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
8849adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8988rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  e.  RR* )
90 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
9149, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  -oo  <  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -oo  <  -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
93 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u
)
9487, 89, 84, 92, 93xrltletrd 10492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -oo  <  u
)
95 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) ) )
96 xrre 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  RR*  /\  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR )
9784, 85, 94, 95, 96syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR )
9897ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  ->  u  e.  RR ) )
9998pm4.71rd 616 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
10083, 99bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )  <->  ( u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
101100abbidv 2397 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  { u  |  ( u  e. 
RR*  /\  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } )
102 df-rab 2552 . . . . . 6  |-  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) }  =  { u  |  (
u  e.  RR*  /\  ( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) }
103101, 102syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  { u  e.  RR*  |  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )  <_  u  /\  u  <_  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
10453, 55, 1033eqtr4rd 2326 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
10540, 39ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  -.  ( abs `  t )  <_  R
) )
106105biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  t
)  <_  R  ->  R  <  ( abs `  t
) ) )
107106imdistani 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) ) )
108 df-rab 2552 . . . . . . 7  |-  { u  e.  RR  |  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) }  =  {
u  |  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) }
109293ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
110313ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
111713ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
112110, 111readdcld 8862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  e.  RR )
11340, 39, 43, 42lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  ( R ^
2 )  <  (
( abs `  t
) ^ 2 ) ) )
11435breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  <  ( ( abs `  t ) ^ 2 )  <->  ( R ^ 2 )  < 
( t ^ 2 ) ) )
115113, 114bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  <  ( abs `  t
)  <->  ( R ^
2 )  <  (
t ^ 2 ) ) )
116115biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  -> 
( R ^ 2 )  <  ( t ^ 2 ) )
1171163adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  < 
( t ^ 2 ) )
118 sqge0 11180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( u ^ 2 ) )
1191183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  0  <_  ( u ^ 2 ) )
120110, 111addge01d 9360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( u ^ 2 )  <->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) ) ) )
121119, 120mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  <_  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
122109, 110, 112, 117, 121ltletrd 8976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  < 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) ) )
123109, 112ltnled 8966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  <  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <->  -.  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) )
124122, 123mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t )  /\  u  e.  RR )  ->  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
1251243expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  /\  u  e.  RR )  ->  -.  ( (
t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) )
126125ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  A. u  e.  RR  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
127 rabeq0 3476 . . . . . . . 8  |-  ( { u  e.  RR  | 
( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) }  =  (/)  <->  A. u  e.  RR  -.  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) )
128126, 127sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  { u  e.  RR  |  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) }  =  (/) )
129108, 128syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  R  <  ( abs `  t ) )  ->  { u  |  (
u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  (/) )
130107, 129syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  (/) )
131 iffalse 3572 . . . . . 6  |-  ( -.  ( abs `  t
)  <_  R  ->  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
132131adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  if ( ( abs `  t )  <_  R ,  ( -u ( sqr `  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
133130, 132eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  /\  -.  ( abs `  t
)  <_  R )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^
2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
134104, 133pm2.61dan 766 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( u  e.  RR  /\  ( ( t ^ 2 )  +  ( u ^
2 ) )  <_ 
( R ^ 2 ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
13527, 134eqtr3d 2317 . 2  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  { u  |  ( t  e.  RR  /\  ( u  e.  RR  /\  (
( t ^ 2 )  +  ( u ^ 2 ) )  <_  ( R ^
2 ) ) ) }  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
13624, 135syl5eq 2327 1  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R  /\  t  e.  RR )  ->  ( S " { t } )  =  if ( ( abs `  t
)  <_  R , 
( -u ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) ) ,  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   2c2 9795   [,]cicc 10659   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  areacirc  24931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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