MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  areaf Structured version   Unicode version

Theorem areaf 20801
Description: Area meaurement is a function whose values are nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
areaf  |- area : dom area --> ( 0 [,)  +oo )

Proof of Theorem areaf
Dummy variables  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfarea 20800 . 2  |- area  =  ( s  e.  dom area  |->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x )
2 areambl 20798 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  (
( s " {
x } )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( s " {
x } ) )  e.  RR ) )
32simprd 451 . . . 4  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( s " { x } ) )  e.  RR )
4 dmarea 20797 . . . . 5  |-  ( s  e.  dom area  <->  ( s  C_  ( RR  X.  RR )  /\  A. x  e.  RR  ( s " { x } )  e.  ( `' vol " RR )  /\  (
x  e.  RR  |->  ( vol `  ( s
" { x }
) ) )  e.  L ^1 ) )
54simp3bi 975 . . . 4  |-  ( s  e.  dom area  ->  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( s " {
x } ) ) )  e.  L ^1 )
63, 5itgrecl 19690 . . 3  |-  ( s  e.  dom area  ->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x  e.  RR )
72simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  (
s " { x } )  e.  dom  vol )
8 mblss 19428 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( s " {
x } )  C_  RR )
9 ovolge0 19378 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  C_  RR  ->  0  <_  ( vol * `
 ( s " { x } ) ) )
107, 8, 93syl 19 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( vol * `  ( s " {
x } ) ) )
11 mblvol 19427 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
s " { x } ) )  =  ( vol * `  ( s " {
x } ) ) )
127, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( s " { x } ) )  =  ( vol
* `  ( s " { x } ) ) )
1310, 12breqtrrd 4239 . . . 4  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( vol `  (
s " { x } ) ) )
145, 3, 13itgge0 19703 . . 3  |-  ( s  e.  dom area  ->  0  <_  S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x )
15 elrege0 11008 . . 3  |-  ( S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x  e.  RR  /\  0  <_  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x ) )
166, 14, 15sylanbrc 647 . 2  |-  ( s  e.  dom area  ->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
171, 16fmpti 5893 1  |- area : dom area --> ( 0 [,)  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706    C_ wss 3321   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   "cima 4882   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991    +oocpnf 9118    <_ cle 9122   [,)cico 10919   vol *covol 19360   volcvol 19361   L ^1cibl 19510   S.citg 19511  areacarea 20795
This theorem is referenced by:  areacl  20802  areage0  20803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-disj 4184  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xadd 10712  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-xmet 16696  df-met 16697  df-ovol 19362  df-vol 19363  df-mbf 19513  df-itg1 19514  df-itg2 19515  df-ibl 19516  df-itg 19517  df-0p 19563  df-area 20796
  Copyright terms: Public domain W3C validator