MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  areaf Unicode version

Theorem areaf 20272
Description: Area meaurement is a function whose values are nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
areaf  |- area : dom area --> ( 0 [,)  +oo )

Proof of Theorem areaf
Dummy variables  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfarea 20271 . 2  |- area  =  ( s  e.  dom area  |->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x )
2 areambl 20269 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  (
( s " {
x } )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( s " {
x } ) )  e.  RR ) )
32simprd 449 . . . 4  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( s " { x } ) )  e.  RR )
4 dmarea 20268 . . . . 5  |-  ( s  e.  dom area  <->  ( s  C_  ( RR  X.  RR )  /\  A. x  e.  RR  ( s " { x } )  e.  ( `' vol " RR )  /\  (
x  e.  RR  |->  ( vol `  ( s
" { x }
) ) )  e.  L ^1 ) )
54simp3bi 972 . . . 4  |-  ( s  e.  dom area  ->  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( s " {
x } ) ) )  e.  L ^1 )
63, 5itgrecl 19168 . . 3  |-  ( s  e.  dom area  ->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x  e.  RR )
72simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  (
s " { x } )  e.  dom  vol )
8 mblss 18906 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( s " {
x } )  C_  RR )
9 ovolge0 18856 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  C_  RR  ->  0  <_  ( vol * `
 ( s " { x } ) ) )
107, 8, 93syl 18 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( vol * `  ( s " {
x } ) ) )
11 mblvol 18905 . . . . . 6  |-  ( ( s " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
s " { x } ) )  =  ( vol * `  ( s " {
x } ) ) )
127, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( s " { x } ) )  =  ( vol
* `  ( s " { x } ) ) )
1310, 12breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( s  e.  dom area  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( vol `  (
s " { x } ) ) )
145, 3, 13itgge0 19181 . . 3  |-  ( s  e.  dom area  ->  0  <_  S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x )
15 elrege0 10762 . . 3  |-  ( S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( S. RR ( vol `  (
s " { x } ) )  _d x  e.  RR  /\  0  <_  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x ) )
166, 14, 15sylanbrc 645 . 2  |-  ( s  e.  dom area  ->  S. RR ( vol `  ( s
" { x }
) )  _d x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
171, 16fmpti 5699 1  |- area : dom area --> ( 0 [,)  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   [,)cico 10674   vol *covol 18838   volcvol 18839   L ^1cibl 18988   S.citg 18989  areacarea 20266
This theorem is referenced by:  areacl  20273  areage0  20274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-area 20267
  Copyright terms: Public domain W3C validator