MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  areass Unicode version

Theorem areass 20254
Description: A measurable region is a subset of  RR  X.  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
areass  |-  ( S  e.  dom area  ->  S  C_  ( RR  X.  RR ) )

Proof of Theorem areass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmarea 20252 . 2  |-  ( S  e.  dom area  <->  ( S  C_  ( RR  X.  RR )  /\  A. x  e.  RR  ( S " { x } )  e.  ( `' vol " RR )  /\  (
x  e.  RR  |->  ( vol `  ( S
" { x }
) ) )  e.  L ^1 ) )
21simp1bi 970 1  |-  ( S  e.  dom area  ->  S  C_  ( RR  X.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   ` cfv 5255   RRcr 8736   volcvol 18823   L ^1cibl 18972  areacarea 20250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-sum 12159  df-itg 18979  df-area 20251
  Copyright terms: Public domain W3C validator