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Theorem argimgt0 20468
Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argimgt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )

Proof of Theorem argimgt0
StepHypRef Expression
1 imcl 11879 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9457 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
5 im0 11921 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2460 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
76necon3i 2614 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 20427 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
1110imcld 11963 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  A ) )
13 abscl 12046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1514recnd 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1615mul01d 9229 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
17 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
18 absrpcl 12056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
198, 18syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2019rpne0d 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
2117, 15, 20divcld 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  /  ( abs `  A ) )  e.  CC )
2214, 21immul2d 11996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
2317, 15, 20divcan2d 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
2423fveq2d 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2522, 24eqtr3d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2612, 16, 253brtr4d 4210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  <  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
27 0re 9055 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
2921imcld 11963 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
3028, 29, 19ltmul2d 10650 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) ) )
3126, 30mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )
32 efiarg 20463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
338, 32syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3433fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
3531, 34breqtrrd 4206 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
36 resinval 12699 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3711, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
3835, 37breqtrrd 4206 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3911resincld 12707 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4039lt0neg2d 9561 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
4138, 40mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 )
42 pire 20333 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
43 readdcl 9037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4411, 42, 43sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4544adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR )
46 df-neg 9258 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  =  ( 0  -  pi )
47 logimcl 20428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
488, 47syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4948simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
5042renegcli 9326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u pi  e.  RR
51 ltle 9127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5250, 11, 51sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5349, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
5446, 53syl5eqbrr 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  -  pi )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5542a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
5628, 55, 11lesubaddd 9587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 0  -  pi )  <_  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) ) )
5754, 56mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5857adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5911, 28, 55leadd1d 9584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  <_  (
0  +  pi ) ) )
6059biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  ( 0  +  pi ) )
6142recni 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
6261addid2i 9218 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
6360, 62syl6breq 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi )
6427, 42elicc2i 10940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  /\  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi ) )
6545, 58, 63, 64syl3anbrc 1138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) )
66 sinq12ge0 20377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6811recnd 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
69 sinppi 20358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7170adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7267, 71breqtrd 4204 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7372ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  ->  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7473con3d 127 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -.  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  ->  -.  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  0
) )
7539renegcld 9428 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
76 ltnle 9119 . . . . 5  |-  ( (
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7775, 27, 76sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
78 ltnle 9119 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
7927, 11, 78sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
8074, 77, 793imtr4d 260 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
8141, 80mpd 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
82 rpre 10582 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u A  e.  RR )
8382renegcld 9428 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u -u A  e.  RR )
84 negneg 9315 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
8584adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u -u A  =  A
)
8685eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
8783, 86syl5ib 211 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  ->  A  e.  RR ) )
88 lognegb 20445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
898, 88syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
90 reim0b 11887 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9190adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9287, 89, 913imtr3d 259 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi  ->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9392necon3d 2613 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  A )  =/=  0  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi ) )
943, 93mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi )
9594necomd 2658 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) )
9648simprd 450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
9711, 55, 96leltned 9188 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9895, 97mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi )
99 0xr 9095 . . 3  |-  0  e.  RR*
10042rexri 9101 . . 3  |-  pi  e.  RR*
101 elioo2 10921 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) ) )
10299, 100, 101mp2an 654 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) 
<->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
10311, 81, 98, 102syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   _ici 8956    + caddc 8957    x. cmul 8959   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   RR+crp 10576   (,)cioo 10880   [,]cicc 10883   Imcim 11866   abscabs 12002   expce 12627   sincsin 12629   picpi 12632   logclog 20413
This theorem is referenced by:  argimlt0  20469  logneg2  20471  logcnlem3  20496  atanlogaddlem  20714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415
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