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Theorem argimgt0 19966
Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argimgt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )

Proof of Theorem argimgt0
StepHypRef Expression
1 imcl 11596 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9239 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
5 im0 11638 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
76necon3i 2485 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 19926 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 456 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
1110imcld 11680 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
12 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  A ) )
13 abscl 11763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1514recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1615mul01d 9011 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
17 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
18 absrpcl 11773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
198, 18syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2019rpne0d 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
2117, 15, 20divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  /  ( abs `  A ) )  e.  CC )
2214, 21immul2d 11713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
2317, 15, 20divcan2d 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
2423fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2522, 24eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2612, 16, 253brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  <  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
27 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
2827a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
2921imcld 11680 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
3028, 29, 19ltmul2d 10428 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) ) )
3126, 30mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )
32 efiarg 19961 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
338, 32syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3433fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
3531, 34breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
36 resinval 12415 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3711, 36syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
3835, 37breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3911resincld 12423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4039lt0neg2d 9343 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
4138, 40mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 )
42 pire 19832 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
43 readdcl 8820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4411, 42, 43sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4544adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR )
46 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  =  ( 0  -  pi )
47 logimcl 19927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
488, 47syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4948simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
5042renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u pi  e.  RR
51 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5250, 11, 51sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5349, 52mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
5446, 53syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  -  pi )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5542a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
5628, 55, 11lesubaddd 9369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 0  -  pi )  <_  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) ) )
5754, 56mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5857adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5911, 28, 55leadd1d 9366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  <_  (
0  +  pi ) ) )
6059biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  ( 0  +  pi ) )
6142recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
6261addid2i 9000 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
6360, 62syl6breq 4062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi )
6427, 42elicc2i 10716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  /\  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi ) )
6545, 58, 63, 64syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) )
66 sinq12ge0 19876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6765, 66syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6811recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
69 sinppi 19857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7267, 71breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7372ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  ->  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7473con3d 125 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -.  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  ->  -.  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  0
) )
7539renegcld 9210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
76 ltnle 8902 . . . . 5  |-  ( (
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7775, 27, 76sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
78 ltnle 8902 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
7927, 11, 78sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
8074, 77, 793imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
8141, 80mpd 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
82 rpre 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u A  e.  RR )
8382renegcld 9210 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u -u A  e.  RR )
84 negneg 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
8584adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u -u A  =  A
)
8685eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
8783, 86syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  ->  A  e.  RR ) )
88 lognegb 19943 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
898, 88syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
90 reim0b 11604 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9190adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9287, 89, 913imtr3d 258 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi  ->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9392necon3d 2484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  A )  =/=  0  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi ) )
943, 93mpd 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi )
9594necomd 2529 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) )
9648simprd 449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
9711, 55, 96leltned 8970 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9895, 97mpbird 223 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi )
99 0xr 8878 . . 3  |-  0  e.  RR*
100 ressxr 8876 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
101100, 42sselii 3177 . . 3  |-  pi  e.  RR*
102 elioo2 10697 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) ) )
10399, 101, 102mp2an 653 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) 
<->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
10411, 81, 98, 103syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   Imcim 11583   abscabs 11719   expce 12343   sincsin 12345   picpi 12348   logclog 19912
This theorem is referenced by:  argimlt0  19967  logneg2  19969  logcnlem3  19991  atanlogaddlem  20209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
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