MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argimgt0 Structured version   Unicode version

Theorem argimgt0 20512
Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argimgt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )

Proof of Theorem argimgt0
StepHypRef Expression
1 imcl 11921 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9498 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
5 im0 11963 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
76necon3i 2645 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 20471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
1110imcld 12005 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
12 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  A ) )
13 abscl 12088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1413adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1514recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1615mul01d 9270 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
17 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
18 absrpcl 12098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
198, 18syldan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2019rpne0d 10658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
2117, 15, 20divcld 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  /  ( abs `  A ) )  e.  CC )
2214, 21immul2d 12038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
2317, 15, 20divcan2d 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
2423fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2522, 24eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Im `  A ) )
2612, 16, 253brtr4d 4245 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  <  ( ( abs `  A )  x.  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
27 0re 9096 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
2921imcld 12005 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
3028, 29, 19ltmul2d 10691 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( Im
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) ) )
3126, 30mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )
32 efiarg 20507 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
338, 32syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3433fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
3531, 34breqtrrd 4241 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
36 resinval 12741 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3711, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
3835, 37breqtrrd 4241 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3911resincld 12749 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4039lt0neg2d 9602 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
4138, 40mpbid 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 )
42 pire 20377 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
43 readdcl 9078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4411, 42, 43sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  RR )
4544adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR )
46 df-neg 9299 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  =  ( 0  -  pi )
47 logimcl 20472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
488, 47syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4948simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
5042renegcli 9367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u pi  e.  RR
51 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5250, 11, 51sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5349, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
5446, 53syl5eqbrr 4249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  -  pi )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5542a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
5628, 55, 11lesubaddd 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 0  -  pi )  <_  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) ) )
5754, 56mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5857adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )
5911, 28, 55leadd1d 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  <_  (
0  +  pi ) ) )
6059biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  ( 0  +  pi ) )
6142recni 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
6261addid2i 9259 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
6360, 62syl6breq 4254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi )
6427, 42elicc2i 10981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  /\  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  <_  pi ) )
6545, 58, 63, 64syl3anbrc 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi ) )
66 sinq12ge0 20421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  +  pi ) ) )
6811recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
69 sinppi 20402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7170adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  ( sin `  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7267, 71breqtrd 4239 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im
`  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0 )  ->  0  <_  -u ( sin `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7372ex 425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <_  0  ->  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7473con3d 128 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -.  0  <_  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  ->  -.  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  0
) )
7539renegcld 9469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
76 ltnle 9160 . . . . 5  |-  ( (
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7775, 27, 76sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  <->  -.  0  <_ 
-u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
78 ltnle 9160 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
7927, 11, 78sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -.  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
0 ) )
8074, 77, 793imtr4d 261 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u ( sin `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
8141, 80mpd 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
82 rpre 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u A  e.  RR )
8382renegcld 9469 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u -u A  e.  RR )
84 negneg 9356 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
8584adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u -u A  =  A
)
8685eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
8783, 86syl5ib 212 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  ->  A  e.  RR ) )
88 lognegb 20489 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
898, 88syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
90 reim0b 11929 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9190adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9287, 89, 913imtr3d 260 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi  ->  ( Im `  A )  =  0 ) )
9392necon3d 2641 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  A )  =/=  0  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi ) )
943, 93mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi )
9594necomd 2689 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) )
9648simprd 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
9711, 55, 96leltned 9229 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9895, 97mpbird 225 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi )
99 0xr 9136 . . 3  |-  0  e.  RR*
10042rexri 9142 . . 3  |-  pi  e.  RR*
101 elioo2 10962 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) ) )
10299, 100, 101mp2an 655 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) 
<->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
10311, 81, 98, 102syl3anbrc 1139 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924   Imcim 11908   abscabs 12044   expce 12669   sincsin 12671   picpi 12674   logclog 20457
This theorem is referenced by:  argimlt0  20513  logneg2  20515  logcnlem3  20540  atanlogaddlem  20758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459
  Copyright terms: Public domain W3C validator