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Theorem argrege0 20459
Description: Closure of the argument of a complex number with nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
argrege0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )

Proof of Theorem argrege0
StepHypRef Expression
1 logcl 20419 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
213adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
32imcld 11955 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
4 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
5 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
65abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
76recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
87mul01d 9221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
9 absrpcl 12048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1093adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
1110rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
125, 7, 11divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( A  /  ( abs `  A
) )  e.  CC )
136, 12remul2d 11987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) )
145, 7, 11divcan2d 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
1514fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
1613, 15eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
174, 8, 163brtr4d 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
18 0re 9047 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
2012recld 11954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
2119, 20, 10lemul2d 10644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) ) )
2217, 21mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
23 efiarg 20455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
24233adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( A  /  ( abs `  A
) ) )
2524fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
2622, 25breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
27 recosval 12692 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
283, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
2926, 28breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
30 halfpire 20328 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
31 pire 20325 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
32 pipos 20326 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
3331, 32elrpii 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
34 rphalfcl 10592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
35 rpge0 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
37 rphalflt 10594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
3833, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
3930, 31, 38ltleii 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
4018, 31elicc2i 10932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  pi ) )
4130, 36, 39, 40mpbir3an 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 [,] pi )
423recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
4342abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4442absge0d 12201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
45 logimcl 20420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
46453adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4746simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
4831renegcli 9318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
49 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5048, 3, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
5147, 50mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5246simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
53 absle 12074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
543, 31, 53sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
5551, 52, 54mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
5618, 31elicc2i 10932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  /\  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
5743, 44, 55, 56syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
58 cosord 20387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  /\  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
5941, 57, 58sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
60 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
62 cosneg 12703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6342, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
64 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6564eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
6663, 65syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
673absord 12173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  \/  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6861, 66, 67mpjaod 371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
69 coshalfpi 20330 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
7168, 70breq12d 4185 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7259, 71bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7372notbid 286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -.  ( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
74 lenlt 9110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7543, 30, 74sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
763recoscld 12700 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
77 lenlt 9110 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7818, 76, 77sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7973, 75, 783bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  0  <_  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) ) )
8029, 79mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  (
pi  /  2 ) )
81 absle 12074 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
823, 30, 81sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
8380, 82mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <_  ( Im `  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
8483simpld 446 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
8583simprd 450 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
8630renegcli 9318 . . 3  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
8786, 30elicc2i 10932 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) )
883, 84, 85, 87syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   _ici 8948    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   expce 12619   cosccos 12622   picpi 12624   logclog 20405
This theorem is referenced by:  logimul  20462  isosctrlem1  20615  asinbnd  20692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
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