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Theorem argrege0 20073
Description: Closure of the argument of a complex number with nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
argrege0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )

Proof of Theorem argrege0
StepHypRef Expression
1 logcl 20033 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
213adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
32imcld 11776 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
4 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
5 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
65abscld 12014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
76recnd 8951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
87mul01d 9101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
9 absrpcl 11869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1093adant3 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
1110rpne0d 10487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
125, 7, 11divcld 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( A  /  ( abs `  A
) )  e.  CC )
136, 12remul2d 11808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) )
145, 7, 11divcan2d 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
1514fveq2d 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  x.  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
1613, 15eqtr3d 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
174, 8, 163brtr4d 4134 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
18 0re 8928 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1918a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
2012recld 11775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
2119, 20, 10lemul2d 10522 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) ) )
2217, 21mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
23 efiarg 20069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
24233adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( A  /  ( abs `  A
) ) )
2524fveq2d 5612 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
2622, 25breqtrrd 4130 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
27 recosval 12513 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
283, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
2926, 28breqtrrd 4130 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
30 pire 19939 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
31 rehalfcl 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
33 pipos 19940 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
3430, 33elrpii 10449 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
35 rphalfcl 10470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
36 rpge0 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
3734, 35, 36mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
38 rphalflt 10472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
3934, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
4032, 30, 39ltleii 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
4118, 30elicc2i 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  pi ) )
4232, 37, 40, 41mpbir3an 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 [,] pi )
433recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
4443abscld 12014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
4543absge0d 12022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
46 logimcl 20034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
47463adant3 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4847simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
4930renegcli 9198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
50 ltle 9000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5149, 3, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
5248, 51mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
5347simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
54 absle 11895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
553, 30, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
5652, 53, 55mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
5718, 30elicc2i 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  /\  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
5844, 45, 56, 57syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
59 cosord 20001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  ( 0 [,] pi )  /\  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
6042, 58, 59sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ) )
61 fveq2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6261a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
63 cosneg 12524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6443, 63syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
65 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6665eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
6764, 66syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
683absord 11994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  \/  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6962, 67, 68mpjaod 370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
70 coshalfpi 19944 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
7170a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( pi  / 
2 ) )  =  0 )
7269, 71breq12d 4117 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  < 
( cos `  (
pi  /  2 ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7360, 72bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7473notbid 285 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -.  ( pi  /  2
)  <  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
75 lenlt 8991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
7644, 32, 75sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -.  (
pi  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
773recoscld 12521 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
78 lenlt 8991 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
7918, 77, 78sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <_  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  -.  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  0 ) )
8074, 76, 793bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  0  <_  ( cos `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) ) )
8129, 80mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  (
pi  /  2 ) )
82 absle 11895 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
833, 32, 82sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) ) )
8481, 83mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <_  ( Im `  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
8584simpld 445 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
8684simprd 449 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
8732renegcli 9198 . . 3  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
8887, 32elicc2i 10808 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) )
893, 85, 86, 88syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   _ici 8829    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958   -ucneg 9128    / cdiv 9513   2c2 9885   RR+crp 10446   [,]cicc 10751   Recre 11678   Imcim 11679   abscabs 11815   expce 12440   cosccos 12443   picpi 12445   logclog 20019
This theorem is referenced by:  logimul  20076  isosctrlem1  20229  asinbnd  20306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021
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