MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwcd Structured version   Unicode version

Theorem arwcd 14234
Description: The codomain of an arrow is an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwrcl.a  |-  A  =  (Nat `  C )
arwdm.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
arwcd  |-  ( F  e.  A  ->  (coda `  F
)  e.  B )

Proof of Theorem arwcd
StepHypRef Expression
1 arwrcl.a . . . 4  |-  A  =  (Nat `  C )
2 eqid 2442 . . . 4  |-  (Homa `  C
)  =  (Homa `  C
)
31, 2arwhoma 14231 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F  e.  ( (domA `  F ) (Homa `  C
) (coda
`  F ) ) )
4 arwdm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
52, 4homarcl2 14221 . . 3  |-  ( F  e.  ( (domA `  F ) (Homa
`  C ) (coda `  F ) )  -> 
( (domA `  F )  e.  B  /\  (coda
`  F )  e.  B ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  (
(domA `  F )  e.  B  /\  (coda
`  F )  e.  B ) )
76simprd 451 1  |-  ( F  e.  A  ->  (coda `  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500  domAcdoma 14206  codaccoda 14207  Natcarw 14208  Homachoma 14209
This theorem is referenced by:  cdaf  14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-doma 14210  df-coda 14211  df-homa 14212  df-arw 14213
  Copyright terms: Public domain W3C validator