MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwcd Unicode version

Theorem arwcd 14162
Description: The codomain of an arrow is an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwrcl.a  |-  A  =  (Nat `  C )
arwdm.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
arwcd  |-  ( F  e.  A  ->  (coda `  F
)  e.  B )

Proof of Theorem arwcd
StepHypRef Expression
1 arwrcl.a . . . 4  |-  A  =  (Nat `  C )
2 eqid 2408 . . . 4  |-  (Homa `  C
)  =  (Homa `  C
)
31, 2arwhoma 14159 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F  e.  ( (domA `  F ) (Homa `  C
) (coda
`  F ) ) )
4 arwdm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
52, 4homarcl2 14149 . . 3  |-  ( F  e.  ( (domA `  F ) (Homa
`  C ) (coda `  F ) )  -> 
( (domA `  F )  e.  B  /\  (coda
`  F )  e.  B ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  (
(domA `  F )  e.  B  /\  (coda
`  F )  e.  B ) )
76simprd 450 1  |-  ( F  e.  A  ->  (coda `  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428  domAcdoma 14134  codaccoda 14135  Natcarw 14136  Homachoma 14137
This theorem is referenced by:  cdaf  14164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-doma 14138  df-coda 14139  df-homa 14140  df-arw 14141
  Copyright terms: Public domain W3C validator