Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwhoma Structured version   Unicode version

Theorem arwhoma 14205
 Description: An arrow is contained in the hom-set corresponding to its domain and codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwrcl.a Nat
arwhoma.h Homa
Assertion
Ref Expression
arwhoma coda

Proof of Theorem arwhoma
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arwrcl.a . . . . . . 7 Nat
2 arwhoma.h . . . . . . 7 Homa
31, 2arwval 14203 . . . . . 6
43eleq2i 2502 . . . . 5
54biimpi 188 . . . 4
6 eqid 2438 . . . . . 6
71arwrcl 14204 . . . . . 6
82, 6, 7homaf 14190 . . . . 5
9 ffn 5594 . . . . 5
10 fnunirn 6002 . . . . 5
118, 9, 103syl 19 . . . 4
125, 11mpbid 203 . . 3
13 fveq2 5731 . . . . . 6
14 df-ov 6087 . . . . . 6
1513, 14syl6eqr 2488 . . . . 5
1615eleq2d 2505 . . . 4
1716rexxp 5020 . . 3
1812, 17sylib 190 . 2
19 id 21 . . . . 5
202homadm 14200 . . . . . 6
212homacd 14201 . . . . . 6 coda
2220, 21oveq12d 6102 . . . . 5 coda
2319, 22eleqtrrd 2515 . . . 4 coda
2423rexlimivw 2828 . . 3 coda
2524rexlimivw 2828 . 2 coda
2618, 25syl 16 1 coda
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  cvv 2958  cpw 3801  cop 3819  cuni 4017   cxp 4879   crn 4882   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  cdoma 14180  codaccoda 14181  Natcarw 14182  Homachoma 14183 This theorem is referenced by:  arwdm  14207  arwcd  14208  arwhom  14211  arwdmcd  14212  coapm  14231 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-doma 14184  df-coda 14185  df-homa 14186  df-arw 14187
 Copyright terms: Public domain W3C validator