MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul1 Structured version   Unicode version

Theorem asclmul1 16398
Description: Left multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclmul1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclmul1.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclmul1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
asclmul1.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
asclmul1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
asclmul1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( A `  R
)  .X.  X )  =  ( R  .x.  X ) )

Proof of Theorem asclmul1
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  W )
2 asclmul1.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 asclmul1.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 asclmul1.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
61, 2, 3, 4, 5asclval 16394 . . . 4  |-  ( R  e.  K  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
763ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
87oveq1d 6096 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( A `  R
)  .X.  X )  =  ( ( R 
.x.  ( 1r `  W ) )  .X.  X ) )
9 simp1 957 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e. AssAlg )
10 simp2 958 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
11 assarng 16380 . . . . 5  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
12113ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  Ring )
13 asclmul1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1413, 5rngidcl 15684 . . . 4  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  V )
1512, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  W )  e.  V )
16 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
17 asclmul1.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
1813, 2, 3, 4, 17assaass 16377 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( R  e.  K  /\  ( 1r `  W )  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( R  .x.  ( 1r `  W ) )  .X.  X )  =  ( R  .x.  ( ( 1r `  W )  .X.  X
) ) )
199, 10, 15, 16, 18syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( R  .x.  ( 1r `  W ) ) 
.X.  X )  =  ( R  .x.  (
( 1r `  W
)  .X.  X )
) )
2013, 17, 5rnglidm 15687 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  W
)  .X.  X )  =  X )
2112, 16, 20syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  W
)  .X.  X )  =  X )
2221oveq2d 6097 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  ( ( 1r
`  W )  .X.  X ) )  =  ( R  .x.  X
) )
238, 19, 223eqtrd 2472 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  (
( A `  R
)  .X.  X )  =  ( R  .x.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   Ringcrg 15660   1rcur 15662  AssAlgcasa 16369  algSccascl 16371
This theorem is referenced by:  issubassa2  16403  mplind  16562  evl1vsd  19957  fta1blem  20091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-assa 16372  df-ascl 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator