MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul2 Structured version   Unicode version

Theorem asclmul2 16430
Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclmul1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclmul1.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclmul1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
asclmul1.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
asclmul1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
asclmul2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )

Proof of Theorem asclmul2
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  W )
2 asclmul1.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 asclmul1.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 asclmul1.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
61, 2, 3, 4, 5asclval 16425 . . . 4  |-  ( R  e.  K  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
763ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
87oveq2d 6126 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) ) )
9 simp1 958 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e. AssAlg )
10 simp2 959 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
11 simp3 960 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
12 assarng 16411 . . . . 5  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
13123ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  Ring )
14 asclmul1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1514, 5rngidcl 15715 . . . 4  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  V )
1613, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  W )  e.  V )
17 asclmul1.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
1814, 2, 3, 4, 17assaassr 16409 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 1r `  W )  e.  V ) )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r
`  W ) ) )  =  ( R 
.x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) ) )
199, 10, 11, 16, 18syl13anc 1187 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  ( X 
.X.  ( 1r `  W ) ) ) )
2014, 17, 5rngridm 15719 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2113, 11, 20syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2221oveq2d 6126 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  X ) )
238, 19, 223eqtrd 2478 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   .rcmulr 13561  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   Ringcrg 15691   1rcur 15693  AssAlgcasa 16400  algSccascl 16402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-assa 16403  df-ascl 16405
  Copyright terms: Public domain W3C validator