MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclmul2 Unicode version

Theorem asclmul2 16362
Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclmul1.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclmul1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclmul1.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclmul1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
asclmul1.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
asclmul1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
asclmul2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )

Proof of Theorem asclmul2
StepHypRef Expression
1 asclmul1.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  W )
2 asclmul1.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 asclmul1.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 asclmul1.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
61, 2, 3, 4, 5asclval 16357 . . . 4  |-  ( R  e.  K  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
763ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A `  R )  =  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )
87oveq2d 6064 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) ) )
9 simp1 957 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e. AssAlg )
10 simp2 958 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
11 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
12 assarng 16343 . . . . 5  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
13123ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  Ring )
14 asclmul1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1514, 5rngidcl 15647 . . . 4  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  V )
1613, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  W )  e.  V )
17 asclmul1.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
1814, 2, 3, 4, 17assaassr 16341 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 1r `  W )  e.  V ) )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r
`  W ) ) )  =  ( R 
.x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) ) )
199, 10, 11, 16, 18syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( R  .x.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  ( X 
.X.  ( 1r `  W ) ) ) )
2014, 17, 5rngridm 15651 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2113, 11, 20syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( 1r `  W ) )  =  X )
2221oveq2d 6064 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  ( X  .X.  ( 1r `  W ) ) )  =  ( R  .x.  X ) )
238, 19, 223eqtrd 2448 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .X.  ( A `  R ) )  =  ( R  .x.  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   .rcmulr 13493  Scalarcsca 13495   .scvsca 13496   Ringcrg 15623   1rcur 15625  AssAlgcasa 16332  algSccascl 16334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-assa 16335  df-ascl 16337
  Copyright terms: Public domain W3C validator