Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclrhm Structured version   Unicode version

Theorem asclrhm 16392
 Description: The scalar injection is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclrhm.a algSc
asclrhm.f Scalar
Assertion
Ref Expression
asclrhm AssAlg RingHom

Proof of Theorem asclrhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2
2 eqid 2435 . 2
3 eqid 2435 . 2
4 eqid 2435 . 2
5 eqid 2435 . 2
6 asclrhm.f . . . 4 Scalar
76assasca 16373 . . 3 AssAlg
8 crngrng 15666 . . 3
97, 8syl 16 . 2 AssAlg
10 assarng 16372 . 2 AssAlg
111, 2rngidcl 15676 . . . 4
12 asclrhm.a . . . . 5 algSc
13 eqid 2435 . . . . 5
1412, 6, 1, 13, 3asclval 16386 . . . 4
159, 11, 143syl 19 . . 3 AssAlg
16 assalmod 16371 . . . 4 AssAlg
17 eqid 2435 . . . . . 6
1817, 3rngidcl 15676 . . . . 5
1910, 18syl 16 . . . 4 AssAlg
2017, 6, 13, 2lmodvs1 15970 . . . 4
2116, 19, 20syl2anc 643 . . 3 AssAlg
2215, 21eqtrd 2467 . 2 AssAlg
2317, 5, 3rnglidm 15679 . . . . . . . 8
2410, 19, 23syl2anc 643 . . . . . . 7 AssAlg
2524adantr 452 . . . . . 6 AssAlg
2625oveq2d 6089 . . . . 5 AssAlg
2726oveq2d 6089 . . . 4 AssAlg
28 simpl 444 . . . . . 6 AssAlg AssAlg
29 simprl 733 . . . . . 6 AssAlg
3019adantr 452 . . . . . 6 AssAlg
3116adantr 452 . . . . . . 7 AssAlg
32 simprr 734 . . . . . . 7 AssAlg
3317, 6, 13, 1lmodvscl 15959 . . . . . . 7
3431, 32, 30, 33syl3anc 1184 . . . . . 6 AssAlg
3517, 6, 1, 13, 5assaass 16369 . . . . . 6 AssAlg
3628, 29, 30, 34, 35syl13anc 1186 . . . . 5 AssAlg
3717, 6, 1, 13, 5assaassr 16370 . . . . . . 7 AssAlg
3828, 32, 30, 30, 37syl13anc 1186 . . . . . 6 AssAlg
3938oveq2d 6089 . . . . 5 AssAlg
4036, 39eqtrd 2467 . . . 4 AssAlg
4117, 6, 13, 1, 4lmodvsass 15967 . . . . 5
4231, 29, 32, 30, 41syl13anc 1186 . . . 4 AssAlg
4327, 40, 423eqtr4rd 2478 . . 3 AssAlg
441, 4rngcl 15669 . . . . . 6
45443expb 1154 . . . . 5
469, 45sylan 458 . . . 4 AssAlg
4712, 6, 1, 13, 3asclval 16386 . . . 4
4846, 47syl 16 . . 3 AssAlg
4912, 6, 1, 13, 3asclval 16386 . . . . 5
5029, 49syl 16 . . . 4 AssAlg
5112, 6, 1, 13, 3asclval 16386 . . . . 5
5232, 51syl 16 . . . 4 AssAlg
5350, 52oveq12d 6091 . . 3 AssAlg
5443, 48, 533eqtr4d 2477 . 2 AssAlg
5512, 6, 10, 16asclghm 16389 . 2 AssAlg
561, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 22, 54, 55isrhm2d 15821 1 AssAlg RingHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  crg 15652  ccrg 15653  cur 15654   RingHom crh 15809  clmod 15942  AssAlgcasa 16361  algSccascl 16363 This theorem is referenced by:  mplind  16554  evlslem1  19928  mpfind  19957  pf1ind  19967 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-rnghom 15811  df-lmod 15944  df-assa 16364  df-ascl 16366
 Copyright terms: Public domain W3C validator