MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Unicode version

Theorem asclval 16091
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclfval.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclfval.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclfval.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
asclfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
Assertion
Ref Expression
asclval  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )

Proof of Theorem asclval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5881 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
2 asclfval.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
3 asclfval.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 asclfval.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
5 asclfval.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 asclfval.o . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
72, 3, 4, 5, 6asclfval 16090 . 2  |-  A  =  ( x  e.  K  |->  ( x  .x.  .1.  ) )
8 ovex 5899 . 2  |-  ( X 
.x.  .1.  )  e.  _V
91, 7, 8fvmpt 5618 1  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   1rcur 15355  algSccascl 16068
This theorem is referenced by:  asclghm  16094  asclmul1  16095  asclmul2  16096  asclrhm  16097  mplascl  16253  ply1scltm  16373  ply1scl0  16381  ply1scl1  16383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-slot 13168  df-base 13169  df-ascl 16071
  Copyright terms: Public domain W3C validator