MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Unicode version

Theorem asclval 16075
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a  |-  A  =  (algSc `  W )
asclfval.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
asclfval.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
asclfval.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
asclfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
Assertion
Ref Expression
asclval  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )

Proof of Theorem asclval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
2 asclfval.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
3 asclfval.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 asclfval.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
5 asclfval.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 asclfval.o . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
72, 3, 4, 5, 6asclfval 16074 . 2  |-  A  =  ( x  e.  K  |->  ( x  .x.  .1.  ) )
8 ovex 5883 . 2  |-  ( X 
.x.  .1.  )  e.  _V
91, 7, 8fvmpt 5602 1  |-  ( X  e.  K  ->  ( A `  X )  =  ( X  .x.  .1.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   1rcur 15339  algSccascl 16052
This theorem is referenced by:  asclghm  16078  asclmul1  16079  asclmul2  16080  asclrhm  16081  mplascl  16237  ply1scltm  16357  ply1scl0  16365  ply1scl1  16367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-slot 13152  df-base 13153  df-ascl 16055
  Copyright terms: Public domain W3C validator