MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Unicode version

Theorem asin1 20206
Description: The arcsine of  1 is  pi 
/  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8811 . . 3  |-  1  e.  CC
2 asinval 20194 . . 3  |-  ( 1  e.  CC  ->  (arcsin `  1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  (arcsin ` 
1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) )
4 ax-icn 8812 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54addid1i 9015 . . . . . 6  |-  ( _i  +  0 )  =  _i
64mulid1i 8855 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
7 sq1 11214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
87oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 )
9 1m1e0 9830 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
108, 9eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  0
1110fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  0 )
12 sqr0 11743 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  0 )  =  0
1311, 12eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  0
146, 13oveq12i 5886 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  +  0 )
15 efhalfpi 19855 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  _i
165, 14, 153eqtr4i 2326 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
1716fveq2i 5544 . . . 4  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
18 pire 19848 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
19 rehalfcl 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2120recni 8865 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
224, 21mulcli 8858 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
23 pipos 19849 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
24 lt0neg2 9297 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
2518, 24ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
2623, 25mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  -u pi  <  0
2718, 23elrpii 10373 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
28 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
30 rpgt0 10381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( pi  /  2
)
3218renegcli 9124 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
33 0re 8854 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3432, 33, 20lttri 8961 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  -u pi  <  (
pi  /  2 ) )
3526, 31, 34mp2an 653 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  ( pi  /  2
)
3622addid2i 9016 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )
3736fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
3833, 20crimi 11694 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( pi  /  2
)
3937, 38eqtr3i 2318 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
4035, 39breqtrri 4064 . . . . . 6  |-  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
41 rphalflt 10396 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
4227, 41ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
4320, 18, 42ltleii 8957 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
4439, 43eqbrtri 4058 . . . . . 6  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  <_  pi
45 ellogrn 19933 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  ( pi  /  2 ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )  /\  ( Im `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <_  pi ) )
4622, 40, 44, 45mpbir3an 1134 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e. 
ran  log
47 logef 19951 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
4846, 47ax-mp 8 . . . 4  |-  ( log `  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )
4917, 48eqtri 2316 . . 3  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )
5049oveq2i 5885 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )
514, 4mulneg1i 9241 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
52 ixi 9413 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
5352negeqi 9061 . . . . . 6  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
541negnegi 9132 . . . . . 6  |-  -u -u 1  =  1
5551, 53, 543eqtri 2320 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
5655oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
574negcli 9130 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
5857, 4, 21mulassi 8862 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
5956, 58eqtr3i 2318 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
6021mulid2i 8856 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
6159, 60eqtr3i 2318 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
623, 50, 613eqtri 2320 1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   ^cexp 11120   Imcim 11599   sqrcsqr 11734   expce 12359   picpi 12364   logclog 19928  arcsincasin 20174
This theorem is referenced by:  acos1  20207  reasinsin  20208  areacirc  25034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-asin 20177
  Copyright terms: Public domain W3C validator