MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Unicode version

Theorem asin1 20736
Description: The arcsine of  1 is  pi 
/  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9050 . . 3  |-  1  e.  CC
2 asinval 20724 . . 3  |-  ( 1  e.  CC  ->  (arcsin `  1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  (arcsin ` 
1 )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) ) )
4 ax-icn 9051 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54addid1i 9255 . . . . . 6  |-  ( _i  +  0 )  =  _i
64mulid1i 9094 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
7 sq1 11478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
87oveq2i 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 )
9 1m1e0 10070 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
108, 9eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  0
1110fveq2i 5733 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  0 )
12 sqr0 12049 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  0 )  =  0
1311, 12eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) )  =  0
146, 13oveq12i 6095 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  +  0 )
15 efhalfpi 20381 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  _i
165, 14, 153eqtr4i 2468 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  (
1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
1716fveq2i 5733 . . . 4  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
18 halfpire 20377 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1918recni 9104 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
204, 19mulcli 9097 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
21 pipos 20375 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
22 pire 20374 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
23 lt0neg2 9537 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
2521, 24mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  -u pi  <  0
2622, 21elrpii 10617 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
27 rphalfcl 10638 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
29 rpgt0 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( pi  /  2
)
3122renegcli 9364 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
32 0re 9093 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3331, 32, 18lttri 9201 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  -u pi  <  (
pi  /  2 ) )
3425, 30, 33mp2an 655 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  ( pi  /  2
)
3520addid2i 9256 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )
3635fveq2i 5733 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
3732, 18crimi 12000 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( 0  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( pi  /  2
)
3836, 37eqtr3i 2460 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
3934, 38breqtrri 4239 . . . . . 6  |-  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
40 rphalflt 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
4126, 40ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
4218, 22, 41ltleii 9198 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
4338, 42eqbrtri 4233 . . . . . 6  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  <_  pi
44 ellogrn 20459 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  ( pi  /  2 ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )  /\  ( Im `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <_  pi ) )
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1137 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e. 
ran  log
46 logef 20478 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
4745, 46ax-mp 8 . . . 4  |-  ( log `  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )
4817, 47eqtri 2458 . . 3  |-  ( log `  ( ( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( 1 ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )
4948oveq2i 6094 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  1 )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
1 ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )
504, 4mulneg1i 9481 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
51 ixi 9653 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
5251negeqi 9301 . . . . . 6  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
531negnegi 9372 . . . . . 6  |-  -u -u 1  =  1
5450, 52, 533eqtri 2462 . . . . 5  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
5554oveq1i 6093 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
564negcli 9370 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
5756, 4, 19mulassi 9101 . . . 4  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
5855, 57eqtr3i 2460 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )
5919mulid2i 9095 . . 3  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
6058, 59eqtr3i 2460 . 2  |-  ( -u _i  x.  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
613, 49, 603eqtri 2462 1  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   2c2 10051   RR+crp 10614   ^cexp 11384   Imcim 11905   sqrcsqr 12040   expce 12666   picpi 12671   logclog 20454  arcsincasin 20704
This theorem is referenced by:  acos1  20737  reasinsin  20738  areacirc  26299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-asin 20707
  Copyright terms: Public domain W3C validator