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Theorem asinlem3 20716
Description: The argument to the logarithm in df-asin 20710 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0re 9096 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  RR )
3 imcl 11921 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
4 ax-icn 9054 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
5 negcl 9311 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
65adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u A  e.  CC )
7 mulcl 9079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  -u A
)  e.  CC )
9 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
106sqcld 11526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A ^ 2 )  e.  CC )
11 subcl 9310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
129, 10, 11sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
1312sqrcld 12244 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
148, 13addcld 9112 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
15 asinlem 20713 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
166, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
1714, 16absrpcld 12255 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
18 2z 10317 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
19 rpexpcl 11405 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2017, 18, 19sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2120rprecred 10664 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2214cjcld 12006 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2322recld 12004 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
2420rpreccld 10663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
2524rpge0d 10657 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) ) )
26 imneg 11943 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
2726adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  =  -u (
Im `  A )
)
283le0neg2d 9604 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Im `  A )  <->  -u ( Im
`  A )  <_ 
0 ) )
2928biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im `  A
)  <_  0 )
3027, 29eqbrtrd 4235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  <_  0 )
31 asinlem3a 20715 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Im `  -u A
)  <_  0 )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
326, 30, 31syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3314recjd 12014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3432, 33breqtrrd 4241 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3521, 23, 25, 34mulge0d 9608 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
36 recval 12131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
3714, 16, 36syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
38 asinlem2 20714 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
3938adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
4039eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  =  ( ( ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
419a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
42 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
43 mulcl 9079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
444, 42, 43sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
45 sqcl 11449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4645adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
47 subcl 9310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
489, 46, 47sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4948sqrcld 12244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
5044, 49addcld 9112 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
5141, 50, 14, 16divmul3d 9829 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5240, 51mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5320rpcnd 10655 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
5420rpne0d 10658 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
5522, 53, 54divrec2d 9799 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5637, 52, 553eqtr3d 2478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5756fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5821, 22remul2d 12037 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5957, 58eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6035, 59breqtrrd 4241 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
61 asinlem3a 20715 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
622, 3, 60, 61lecasei 9184 1  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   2c2 10054   ZZcz 10287   RR+crp 10617   ^cexp 11387   *ccj 11906   Recre 11907   Imcim 11908   sqrcsqr 12043   abscabs 12044
This theorem is referenced by:  asinneg  20731  asinbnd  20744  dvreasin  26304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046
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