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Theorem asinlem3 20699
Description: The argument to the logarithm in df-asin 20693 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0re 9080 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  RR )
3 imcl 11904 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
4 ax-icn 9038 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
5 negcl 9295 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
65adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u A  e.  CC )
7 mulcl 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  -u A
)  e.  CC )
9 ax-1cn 9037 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
106sqcld 11509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A ^ 2 )  e.  CC )
11 subcl 9294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
129, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
1312sqrcld 12227 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
148, 13addcld 9096 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
15 asinlem 20696 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
166, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
1714, 16absrpcld 12238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
18 2z 10301 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
19 rpexpcl 11388 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2120rprecred 10648 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2214cjcld 11989 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2322recld 11987 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
2420rpreccld 10647 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
2524rpge0d 10641 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) ) )
26 imneg 11926 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
2726adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  =  -u (
Im `  A )
)
283le0neg2d 9588 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Im `  A )  <->  -u ( Im
`  A )  <_ 
0 ) )
2928biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im `  A
)  <_  0 )
3027, 29eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  <_  0 )
31 asinlem3a 20698 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Im `  -u A
)  <_  0 )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
326, 30, 31syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3314recjd 11997 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3432, 33breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3521, 23, 25, 34mulge0d 9592 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
36 recval 12114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
3714, 16, 36syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
38 asinlem2 20697 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
3938adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
4039eqcomd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  =  ( ( ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
419a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
42 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
43 mulcl 9063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
444, 42, 43sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
45 sqcl 11432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
47 subcl 9294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
489, 46, 47sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4948sqrcld 12227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
5044, 49addcld 9096 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
5141, 50, 14, 16divmul3d 9813 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5240, 51mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5320rpcnd 10639 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
5420rpne0d 10642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
5522, 53, 54divrec2d 9783 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5637, 52, 553eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5756fveq2d 5723 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5821, 22remul2d 12020 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5957, 58eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6035, 59breqtrrd 4230 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
61 asinlem3a 20698 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
622, 3, 60, 61lecasei 9168 1  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980   _ici 8981    + caddc 8982    x. cmul 8984    <_ cle 9110    - cmin 9280   -ucneg 9281    / cdiv 9666   2c2 10038   ZZcz 10271   RR+crp 10601   ^cexp 11370   *ccj 11889   Recre 11890   Imcim 11891   sqrcsqr 12026   abscabs 12027
This theorem is referenced by:  asinneg  20714  asinbnd  20727  dvreasin  26226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029
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