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Theorem asinlem3a 20166
Description: Lemma for asinlem3 20167. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3a  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3a
StepHypRef Expression
1 imcl 11596 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
32renegcld 9210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  e.  RR )
4 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 sqcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
7 subcl 9051 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
98sqrcld 11919 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
109recld 11679 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
111le0neg1d 9344 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( Im `  A ) ) )
1211biimpa 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  -u ( Im
`  A ) )
138sqrrege0d 11920 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
143, 10, 12, 13addge0d 9348 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( -u (
Im `  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
15 ax-icn 8796 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
16 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
17 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
1918, 9readdd 11699 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
2015negcli 9114 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
21 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
2220, 16, 21sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u _i  x.  A
)  e.  CC )
2322renegd 11694 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  -u ( -u _i  x.  A ) )  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
2415negnegi 9116 . . . . . . . 8  |-  -u -u _i  =  _i
2524oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( -u -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  A )
26 mulneg1 9216 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u -u _i  x.  A )  =  -u ( -u _i  x.  A
) )
2720, 16, 26sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u -u _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2825, 27syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2928fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  ( Re
`  -u ( -u _i  x.  A ) ) )
30 imre 11593 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
3130adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  =  ( Re
`  ( -u _i  x.  A ) ) )
3231negeqd 9046 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
3323, 29, 323eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  -u (
Im `  A )
)
3433oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3519, 34eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3614, 35breqtrrd 4049 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   2c2 9795   ^cexp 11104   Recre 11582   Imcim 11583   sqrcsqr 11718
This theorem is referenced by:  asinlem3  20167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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