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Theorem asinlem3a 20710
Description: Lemma for asinlem3 20711. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3a  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3a
StepHypRef Expression
1 imcl 11916 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
32renegcld 9464 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  e.  RR )
4 ax-1cn 9048 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 sqcl 11444 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
7 subcl 9305 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
98sqrcld 12239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
109recld 11999 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
111le0neg1d 9598 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( Im `  A ) ) )
1211biimpa 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  -u ( Im
`  A ) )
138sqrrege0d 12240 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
143, 10, 12, 13addge0d 9602 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( -u (
Im `  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
15 ax-icn 9049 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
16 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
17 mulcl 9074 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
1918, 9readdd 12019 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
2015negcli 9368 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
21 mulcl 9074 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
2220, 16, 21sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u _i  x.  A
)  e.  CC )
2322renegd 12014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  -u ( -u _i  x.  A ) )  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
2415negnegi 9370 . . . . . . . 8  |-  -u -u _i  =  _i
2524oveq1i 6091 . . . . . . 7  |-  ( -u -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  A )
26 mulneg1 9470 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u -u _i  x.  A )  =  -u ( -u _i  x.  A
) )
2720, 16, 26sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( -u -u _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2825, 27syl5eqr 2482 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( _i  x.  A
)  =  -u ( -u _i  x.  A ) )
2928fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  ( Re
`  -u ( -u _i  x.  A ) ) )
30 imre 11913 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
3130adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Im `  A
)  =  ( Re
`  ( -u _i  x.  A ) ) )
3231negeqd 9300 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  ->  -u ( Im `  A
)  =  -u (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) )
3323, 29, 323eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  -u (
Im `  A )
)
3433oveq1d 6096 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( ( Re `  ( _i  x.  A
) )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3519, 34eqtrd 2468 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( Re `  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3614, 35breqtrrd 4238 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991   _ici 8992    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   2c2 10049   ^cexp 11382   Recre 11902   Imcim 11903   sqrcsqr 12038
This theorem is referenced by:  asinlem3  20711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041
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