Theorem asinneg 20182

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	|- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = -u (arcsin ` A ) )

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8796	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
2		mulcl 8821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
3	1, 2	mpan 651	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
4		ax-1cn 8795	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
5		sqcl 11166	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
6		subcl 9051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
7	4, 5, 6	sylancr 644	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
8	7	sqrcld 11919	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) e. CC )
9	3, 8	addcld 8854	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
10		asinlem 20164	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
11		logcl 19926	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
12	9, 10, 11	syl2anc 642	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
13		efneg 12378	. . . . . . 7 |- ( ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
14	12, 13	syl 15	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
15		eflog 19933	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
16	9, 10, 15	syl2anc 642	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
17	16	oveq2d 5874	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
18		asinlem2 20165	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = 1 )
19	4	a1i 10	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 1 e. CC )
20		negcl 9052	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
21		mulcl 8821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ -u A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) e. CC )
22	1, 20, 21	sylancr 644	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u A ) e. CC )
23	20	sqcld 11243	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u A ^ 2 ) e. CC )
24		subcl 9051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( -u A ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) e. CC )
25	4, 23, 24	sylancr 644	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) e. CC )
26	25	sqrcld 11919	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) e. CC )
27	22, 26	addcld 8854	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
28	19, 9, 27, 10	divmuld 9558	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = 1 ) )
29	18, 28	mpbird 223	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
30	14, 17, 29	3eqtrd 2319	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
31		asinlem 20164	. . . . . . 7 |- ( -u A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
32	20, 31	syl 15	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
33	12	negcld 9144	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
34	12	imnegd 11695	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
35	12	imcld 11680	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
36	35	renegcld 9210	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
37	9	renegd 11694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
38		asinlem3 20167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
39	9	recld 11679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR )
40	39	le0neg2d 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( 0 <_ ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 ) )
41	38, 40	mpbid 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 )
42	37, 41	eqbrtrd 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 )
43	9	negcld 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
44	43	recld 11679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR )
45		0re 8838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
46		lenlt 8901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
47	44, 45, 46	sylancl 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
48	42, 47	mpbid 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
49		lognegb 19943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi ) )
50	9, 10, 49	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi ) )
51		rpgt0 10365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> 0 < -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
52		rpre 10360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
53	52	rered 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
54	51, 53	breqtrrd 4049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
55	50, 54	syl6bir 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi -> 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
56	55	necon3bd 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) =/= pi ) )
57	48, 56	mpd 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) =/= pi )
58	57	necomd 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> pi =/= ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
59		pire 19832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
60	59	a1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> pi e. RR )
61		logimcl 19927	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
62	9, 10, 61	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
63	62	simprd 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi )
64	35, 60, 63	leltned 8970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
65	58, 64	mpbird 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi )
66		ltneg 9274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
67	35, 59, 66	sylancl 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
68	65, 67	mpbid 201	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
69	62	simpld 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
70	59	renegcli 9108	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR
71		ltle 8910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
72	70, 35, 71	sylancr 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
73	69, 72	mpd 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
74		lenegcon1 9278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
75	59, 35, 74	sylancr 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
76	73, 75	mpbid 201	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi )
77		ressxr 8876	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
78	77, 70	sselii 3177	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
79		elioc2 10713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR ) -> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) <-> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) ) )
80	78, 59, 79	mp2an 653	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) <-> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
81	36, 68, 76, 80	syl3anbrc 1136	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
82	34, 81	eqeltrd 2357	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
83		imf 11598	. . . . . . . . 9 |- Im : CC --> RR
84		ffn 5389	. . . . . . . . 9 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
85		elpreima 5645	. . . . . . . . 9 |- ( Im Fn CC -> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) <-> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) ) ) )
86	83, 84, 85	mp2b 9	. . . . . . . 8 |- ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) <-> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) ) )
87	33, 82, 86	sylanbrc 645	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
88		logrn 19916	. . . . . . 7 |- ran log = ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
89	87, 88	syl6eleqr 2374	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ran log )
90		logeftb 19937	. . . . . 6 |- ( ( ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 /\ -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ran log ) -> ( ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
91	27, 32, 89, 90	syl3anc 1182	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
92	30, 91	mpbird 223	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
93	92	oveq2d 5874	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
94	1	negcli 9114	. . . 4 |- -u _i e. CC
95		mulneg2 9217	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC ) -> ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
96	94, 12, 95	sylancr 644	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
97	93, 96	eqtrd 2315	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
98		asinval 20178	. . 3 |- ( -u A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
99	20, 98	syl 15	. 2 |- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
100		asinval 20178	. . 3 |- ( A e. CC -> (arcsin ` A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
101	100	negeqd 9046	. 2 |- ( A e. CC -> -u (arcsin ` A ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
102	97, 99, 101	3eqtr4d 2325	1 |- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = -u (arcsin ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1623   e. wcel 1684   =/= wne 2446   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739   + caddc 8740   x. cmul 8742   RR*cxr 8866   < clt 8867   <_ cle 8868   - cmin 9037   -ucneg 9038   / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   Recre 11582   Imcim 11583   sqrcsqr 11718   expce 12343   picpi 12348   logclog 19912  arcsincasin 20158

This theorem is referenced by:  acosneg  20183  sinasin  20185  reasinsin  20192  cosasin  20200  areacirc  24931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-asin 20161