Theorem asinneg 20731

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	|- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = -u (arcsin ` A ) )

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9054	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
2		mulcl 9079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
3	1, 2	mpan 653	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
4		ax-1cn 9053	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
5		sqcl 11449	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
6		subcl 9310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
7	4, 5, 6	sylancr 646	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
8	7	sqrcld 12244	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) e. CC )
9	3, 8	addcld 9112	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
10		asinlem 20713	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
11	9, 10	logcld 20473	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
12		efneg 12704	. . . . . . 7 |- ( ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
14		eflog 20479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
15	9, 10, 14	syl2anc 644	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
16	15	oveq2d 6100	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
17		asinlem2 20714	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = 1 )
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 1 e. CC )
19		negcl 9311	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
20		mulcl 9079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ -u A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) e. CC )
21	1, 19, 20	sylancr 646	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u A ) e. CC )
22	19	sqcld 11526	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u A ^ 2 ) e. CC )
23		subcl 9310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( -u A ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) e. CC )
24	4, 22, 23	sylancr 646	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) e. CC )
25	24	sqrcld 12244	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) e. CC )
26	21, 25	addcld 9112	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
27	18, 9, 26, 10	divmuld 9817	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = 1 ) )
28	17, 27	mpbird 225	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
29	13, 16, 28	3eqtrd 2474	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
30		asinlem 20713	. . . . . . 7 |- ( -u A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
31	19, 30	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
32	11	negcld 9403	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
33	11	imnegd 12020	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34	11	imcld 12005	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
35	34	renegcld 9469	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
36	9	renegd 12019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
37		asinlem3 20716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
38	9	recld 12004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR )
39	38	le0neg2d 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( 0 <_ ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 ) )
40	37, 39	mpbid 203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 )
41	36, 40	eqbrtrd 4235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 )
42	9	negcld 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
43	42	recld 12004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR )
44		0re 9096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
45		lenlt 9159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
47	41, 46	mpbid 203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
48		lognegb 20489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi ) )
49	9, 10, 48	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi ) )
50		rpgt0 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> 0 < -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
51		rpre 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
52	51	rered 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
53	50, 52	breqtrrd 4241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
54	49, 53	syl6bir 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi -> 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
55	54	necon3bd 2640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) =/= pi ) )
56	47, 55	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) =/= pi )
57	56	necomd 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> pi =/= ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
58		pire 20377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> pi e. RR )
60	9, 10	logimcld 20474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
61	60	simprd 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi )
62	34, 59, 61	leltned 9229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
63	57, 62	mpbird 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi )
64		ltneg 9533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
65	34, 58, 64	sylancl 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
66	63, 65	mpbid 203	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
67	60	simpld 447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
68	58	renegcli 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR
69		ltle 9168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
70	68, 34, 69	sylancr 646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
71	67, 70	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
72		lenegcon1 9537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
73	58, 34, 72	sylancr 646	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
74	71, 73	mpbid 203	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi )
75	68	rexri 9142	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
76		elioc2 10978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR ) -> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) <-> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) ) )
77	75, 58, 76	mp2an 655	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) <-> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
78	35, 66, 74, 77	syl3anbrc 1139	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
79	33, 78	eqeltrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
80		imf 11923	. . . . . . . . 9 |- Im : CC --> RR
81		ffn 5594	. . . . . . . . 9 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
82		elpreima 5853	. . . . . . . . 9 |- ( Im Fn CC -> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) <-> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) ) ) )
83	80, 81, 82	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) <-> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) ) )
84	32, 79, 83	sylanbrc 647	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
85		logrn 20461	. . . . . . 7 |- ran log = ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
86	84, 85	syl6eleqr 2529	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ran log )
87		logeftb 20483	. . . . . 6 |- ( ( ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 /\ -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ran log ) -> ( ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
88	26, 31, 86, 87	syl3anc 1185	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
89	29, 88	mpbird 225	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
90	89	oveq2d 6100	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
91	1	negcli 9373	. . . 4 |- -u _i e. CC
92		mulneg2 9476	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC ) -> ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
93	91, 11, 92	sylancr 646	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
94	90, 93	eqtrd 2470	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
95		asinval 20727	. . 3 |- ( -u A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
96	19, 95	syl 16	. 2 |- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
97		asinval 20727	. . 3 |- ( A e. CC -> (arcsin ` A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
98	97	negeqd 9305	. 2 |- ( A e. CC -> -u (arcsin ` A ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
99	94, 96, 98	3eqtr4d 2480	1 |- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = -u (arcsin ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   /\ w3a 937   = wceq 1653   e. wcel 1726   =/= wne 2601   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   ran crn 4882   "cima 4884   Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   _ici 8997   + caddc 8998   x. cmul 9000   RR*cxr 9124   < clt 9125   <_ cle 9126   - cmin 9296   -ucneg 9297   / cdiv 9682   2c2 10054   RR+crp 10617   (,]cioc 10922   ^cexp 11387   Recre 11907   Imcim 11908   sqrcsqr 12043   expce 12669   picpi 12674   logclog 20457  arcsincasin 20707

This theorem is referenced by:  acosneg  20732  sinasin  20734  reasinsin  20741  cosasin  20749  areacirc  26311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-asin 20710