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Theorem asinneg 20182
Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )

Proof of Theorem asinneg
StepHypRef Expression
1 ax-icn 8796 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2 mulcl 8821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
4 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5 sqcl 11166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
6 subcl 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
87sqrcld 11919 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
93, 8addcld 8854 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
10 asinlem 20164 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
11 logcl 19926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
13 efneg 12378 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
15 eflog 19933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
169, 10, 15syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
1716oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( exp `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
18 asinlem2 20165 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
194a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
20 negcl 9052 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
21 mulcl 8821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
221, 20, 21sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  e.  CC )
2320sqcld 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )
24 subcl 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
254, 23, 24sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
2625sqrcld 11919 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  e.  CC )
2722, 26addcld 8854 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2819, 9, 27, 10divmuld 9558 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  <->  ( (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 ) )
2918, 28mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
3014, 17, 293eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
31 asinlem 20164 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3220, 31syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3312negcld 9144 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3412imnegd 11695 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3512imcld 11680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
3635renegcld 9210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
379renegd 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
38 asinlem3 20167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
399recld 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
4039le0neg2d 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )  <->  -u ( Re
`  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
4138, 40mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  ( (
_i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
4237, 41eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0 )
439negcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
4443recld 11679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
45 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
46 lenlt 8901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4842, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
49 lognegb 19943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
509, 10, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi ) )
51 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
52 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
5352rered 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5451, 53breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  RR+  ->  0  <  ( Re `  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
5550, 54syl6bir 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  pi  ->  0  <  ( Re `  -u (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5655necon3bd 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  0  <  ( Re
`  -u ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =/=  pi ) )
5748, 56mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  =/= 
pi )
5857necomd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
59 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
6059a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  e.  RR )
61 logimcl 19927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
629, 10, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
6362simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
6435, 60, 63leltned 8970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
6558, 64mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  < 
pi )
66 ltneg 9274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6735, 59, 66sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6865, 67mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6962simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
7059renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
71 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
7270, 35, 71sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  ->  -u pi  <_  (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) ) ) )
7369, 72mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
74 lenegcon1 9278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7559, 35, 74sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7673, 75mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  <_  pi )
77 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
7877, 70sselii 3177 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
79 elioc2 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) ) )
8078, 59, 79mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi )  <->  ( -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  /\  -u ( Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  <_  pi ) )
8136, 68, 76, 80syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
8234, 81eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
83 imf 11598 . . . . . . . . 9  |-  Im : CC
--> RR
84 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
85 elpreima 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( Im  Fn  CC  ->  ( -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) ) )
8683, 84, 85mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im
`  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) ) )
8733, 82, 86sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) ) )
88 logrn 19916 . . . . . . 7  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
8987, 88syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )
90 logeftb 19937 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0  /\  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
9127, 32, 89, 90syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( log `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( exp `  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
9230, 91mpbird 223 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  = 
-u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
9392oveq2d 5874 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  -u ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
941negcli 9114 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
95 mulneg2 9217 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9694, 12, 95sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  -u ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9793, 96eqtrd 2315 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
98 asinval 20178 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9920, 98syl 15 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
100 asinval 20178 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
101100negeqd 9046 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (arcsin `  A )  =  -u ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
10297, 99, 1013eqtr4d 2325 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   Recre 11582   Imcim 11583   sqrcsqr 11718   expce 12343   picpi 12348   logclog 19912  arcsincasin 20158
This theorem is referenced by:  acosneg  20183  sinasin  20185  reasinsin  20192  cosasin  20200  areacirc  24931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-asin 20161
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