Theorem asinneg 20687

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	|- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = -u (arcsin ` A ) )

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9013	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
2		mulcl 9038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
3	1, 2	mpan 652	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
4		ax-1cn 9012	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
5		sqcl 11407	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
6		subcl 9269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
7	4, 5, 6	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( A ^ 2 ) ) e. CC )
8	7	sqrcld 12202	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) e. CC )
9	3, 8	addcld 9071	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
10		asinlem 20669	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
11	9, 10	logcld 20429	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
12		efneg 12662	. . . . . . 7 |- ( ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
14		eflog 20435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
15	9, 10, 14	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
16	15	oveq2d 6064	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 1 / ( exp ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
17		asinlem2 20670	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = 1 )
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 1 e. CC )
19		negcl 9270	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
20		mulcl 9038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ -u A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) e. CC )
21	1, 19, 20	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u A ) e. CC )
22	19	sqcld 11484	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u A ^ 2 ) e. CC )
23		subcl 9269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( -u A ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) e. CC )
24	4, 22, 23	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) e. CC )
25	24	sqrcld 12202	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) e. CC )
26	21, 25	addcld 9071	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
27	18, 9, 26, 10	divmuld 9776	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = 1 ) )
28	17, 27	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 1 / ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
29	13, 16, 28	3eqtrd 2448	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
30		asinlem 20669	. . . . . . 7 |- ( -u A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
31	19, 30	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
32	11	negcld 9362	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
33	11	imnegd 11978	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
34	11	imcld 11963	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
35	34	renegcld 9428	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
36	9	renegd 11977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
37		asinlem3 20672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
38	9	recld 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR )
39	38	le0neg2d 9563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( 0 <_ ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 ) )
40	37, 39	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> -u ( Re ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 )
41	36, 40	eqbrtrd 4200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 )
42	9	negcld 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
43	42	recld 11962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR )
44		0re 9055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
45		lenlt 9118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
47	41, 46	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
48		lognegb 20445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 ) -> ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi ) )
49	9, 10, 48	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi ) )
50		rpgt0 10587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> 0 < -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
51		rpre 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
52	51	rered 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) )
53	50, 52	breqtrrd 4206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ -> 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
54	49, 53	syl6bir 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = pi -> 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
55	54	necon3bd 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( -. 0 < ( Re ` -u ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) =/= pi ) )
56	47, 55	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) =/= pi )
57	56	necomd 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> pi =/= ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
58		pire 20333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> pi e. RR )
60	9, 10	logimcld 20430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
61	60	simprd 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi )
62	34, 59, 61	leltned 9188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
63	57, 62	mpbird 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi )
64		ltneg 9492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
65	34, 58, 64	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
66	63, 65	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
67	60	simpld 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
68	58	renegcli 9326	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR
69		ltle 9127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
70	68, 34, 69	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
71	67, 70	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
72		lenegcon1 9496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
73	58, 34, 72	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
74	71, 73	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi )
75	68	rexri 9101	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
76		elioc2 10937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR ) -> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) <-> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) ) )
77	75, 58, 76	mp2an 654	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) <-> ( -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. RR /\ -u pi < -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) /\ -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) <_ pi ) )
78	35, 66, 74, 77	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
79	33, 78	eqeltrd 2486	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
80		imf 11881	. . . . . . . . 9 |- Im : CC --> RR
81		ffn 5558	. . . . . . . . 9 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
82		elpreima 5817	. . . . . . . . 9 |- ( Im Fn CC -> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) <-> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) ) ) )
83	80, 81, 82	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) <-> ( -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) e. ( -u pi (,] pi ) ) )
84	32, 79, 83	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
85		logrn 20417	. . . . . . 7 |- ran log = ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
86	84, 85	syl6eleqr 2503	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ran log )
87		logeftb 20439	. . . . . 6 |- ( ( ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 /\ -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. ran log ) -> ( ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
88	26, 31, 86, 87	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( exp ` -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
89	29, 88	mpbird 224	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) = -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
90	89	oveq2d 6064	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
91	1	negcli 9332	. . . 4 |- -u _i e. CC
92		mulneg2 9435	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC ) -> ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
93	91, 11, 92	sylancr 645	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. -u ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
94	90, 93	eqtrd 2444	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
95		asinval 20683	. . 3 |- ( -u A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
96	19, 95	syl 16	. 2 |- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. -u A ) + ( sqr ` ( 1 - ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
97		asinval 20683	. . 3 |- ( A e. CC -> (arcsin ` A ) = ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
98	97	negeqd 9264	. 2 |- ( A e. CC -> -u (arcsin ` A ) = -u ( -u _i x. ( log ` ( ( _i x. A ) + ( sqr ` ( 1 - ( A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
99	94, 96, 98	3eqtr4d 2454	1 |- ( A e. CC -> (arcsin ` -u A ) = -u (arcsin ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2575   class class class wbr 4180   `'ccnv 4844   ran crn 4846   "cima 4848   Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955   _ici 8956   + caddc 8957   x. cmul 8959   RR*cxr 9083   < clt 9084   <_ cle 9085   - cmin 9255   -ucneg 9256   / cdiv 9641   2c2 10013   RR+crp 10576   (,]cioc 10881   ^cexp 11345   Recre 11865   Imcim 11866   sqrcsqr 12001   expce 12627   picpi 12632   logclog 20413  arcsincasin 20663

This theorem is referenced by:  acosneg  20688  sinasin  20690  reasinsin  20697  cosasin  20705  areacirc  26195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-asin 20666