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Theorem asinsin 20204
Description: The arcsine function composed with  sin is equal to the identity. This plus sinasin 20201 allow us to view  sin and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when  A  =  ( pi 
/  2 )  -  _i y for non-negative real  y and also symmetrically at  A  =  _i y  -  ( pi  / 
2 ). In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval  [ -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) ], not just the open interval (see reasinsin 20208). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsin  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem asinsin
StepHypRef Expression
1 sincl 12422 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
3 asinval 20194 . . 3  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5 ax-icn 8812 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
6 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
75, 2, 6sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
8 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
9 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
105, 8, 9sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 12380 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
137, 12pncan3d 9176 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )
1412, 7subcld 9173 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
15 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
162sqcld 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
17 subcl 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
19 binom2sub 11236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2012, 7, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2112sqvald 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
22 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
2322a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
2423, 12, 7mul12d 9037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2521, 24oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
26 coscl 12423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
28 subsq 11226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
2927, 7, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  x.  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
30 sqmul 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
315, 2, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
32 i2 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
3332oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3416mulm1d 9247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3533, 34syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3631, 35eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3736oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
3827sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
3938, 16subnegd 9180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
4038, 16addcomd 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
4137, 39, 403eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
42 efival 12448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4472timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4543, 44oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
4627, 7, 7pnpcan2d 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4745, 46eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4843, 47oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
49 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5022, 7, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5112, 12, 50subdid 9251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5248, 51eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5329, 41, 523eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
54 sincossq 12472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  1 )
5625, 53, 553eqtr2d 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  1 )
5756, 36oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
58 negsub 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
5915, 16, 58sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  + 
-u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
6020, 57, 593eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
61 1re 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
62 rehalfcl 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6463a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR )
655negcli 9130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u _i  e.  CC
66 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6765, 8, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
68 efcl 12380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
7012, 69addcld 8870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
7170recld 11695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  e.  RR )
72 halfgt0 9948 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7372a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
1  /  2 ) )
7412recld 11695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
7569recld 11695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
76 asinsinlem 20203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
77 negcl 9068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
79 reneg 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
81 recl 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
82 pire 19848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  pi  e.  RR
83 rehalfcl 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
8584renegcli 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
86 iooneg 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8785, 84, 86mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8881, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8988biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) )
9084recni 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
9190negnegi 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u (
pi  /  2 )  =  ( pi  / 
2 )
9291oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) )  =  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )
9389, 92syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
9480, 93eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
95 asinsinlem 20203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  0  <  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
9678, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
97 mulneg12 9234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
985, 8, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
9998fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) )
10099fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) ) ) )
10196, 100breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
10274, 75, 76, 101addgt0d 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10312, 69readdd 11715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
104102, 103breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10564, 71, 73, 104mulgt0d 8987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
106 cosval 12419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
108 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
109108a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  =/=  0
)
11070, 23, 109divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
111107, 110eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
112111fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
113 remul2 11631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
11463, 70, 113sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
115112, 114eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
116105, 115breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( cos `  A ) ) )
11743oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11827, 7pncand 9174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
119117, 118eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
120119fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( Re `  ( cos `  A ) ) )
121116, 120breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
12214, 18, 60, 121eqsqr2d 11868 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
123122oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
12413, 123eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
125124fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12682renegcli 9124 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
127126a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
12885a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  e.  RR )
129 elioore 10702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
130129adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
131 pipos 19849 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
13282, 131elrpii 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
133 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
134132, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
13584, 82ltnegi 9333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( pi  /  2
) )
136134, 135mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  <  -u ( pi  / 
2 )
137136a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  -u (
pi  /  2 ) )
138 eliooord 10726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
139138adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
140139simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
141127, 128, 130, 137, 140lttrd 8993 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Re `  A )
)
142 imre 11609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
14310, 142syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
1445, 5mulneg1i 9241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
145 ixi 9413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
146145negeqi 9061 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
14715negnegi 9132 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
148144, 146, 1473eqtri 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
149148oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( 1  x.  A )
15065a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
1515a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
152150, 151, 8mulassd 8874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  A )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )
153 mulid2 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
154153adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
155149, 152, 1543eqtr3a 2352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) )  =  A )
156155fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( Re `  A ) )
157143, 156eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  A ) )
158141, 157breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
15982a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
16084a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  e.  RR )
161139simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
162134a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  <  pi )
163130, 160, 159, 161, 162lttrd 8993 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  pi )
164130, 159, 163ltled 8983 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <_  pi )
165157, 164eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi )
166 ellogrn 19933 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  A )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  A )
)  /\  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi ) )
16710, 158, 165, 166syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  ran  log )
168 logef 19951 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
169167, 168syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( _i  x.  A ) )
170125, 169eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
171170oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
1724, 171, 1553eqtrd 2332 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599   sqrcsqr 11734   expce 12359   sincsin 12361   cosccos 12362   picpi 12364   logclog 19928  arcsincasin 20174
This theorem is referenced by:  acoscos  20205  reasinsin  20208  asinsinb  20209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-asin 20177
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