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Theorem asinsin 20737
Description: The arcsine function composed with  sin is equal to the identity. This plus sinasin 20734 allow us to view  sin and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when  A  =  ( pi 
/  2 )  -  _i y for non-negative real  y and also symmetrically at  A  =  _i y  -  ( pi  / 
2 ). In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval  [ -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) ], not just the open interval (see reasinsin 20741). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsin  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem asinsin
StepHypRef Expression
1 sincl 12732 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
3 asinval 20727 . . 3  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5 ax-icn 9054 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
6 mulcl 9079 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
75, 2, 6sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
8 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
9 mulcl 9079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
105, 8, 9sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 12690 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
137, 12pncan3d 9419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )
1412, 7subcld 9416 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
15 ax-1cn 9053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
162sqcld 11526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
17 subcl 9310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
19 binom2sub 11503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2012, 7, 19syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2112sqvald 11525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
22 2cn 10075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
2423, 12, 7mul12d 9280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2521, 24oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
26 coscl 12733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2726adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
28 subsq 11493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
2927, 7, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  x.  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
30 sqmul 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
315, 2, 30sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
32 i2 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
3332oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3416mulm1d 9490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3533, 34syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3631, 35eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3736oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
3827sqcld 11526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
3938, 16subnegd 9423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
4038, 16addcomd 9273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
4137, 39, 403eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
42 efival 12758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4342adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4472timesd 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4543, 44oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
4627, 7, 7pnpcan2d 9454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4745, 46eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4843, 47oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
49 mulcl 9079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5022, 7, 49sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5112, 12, 50subdid 9494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5248, 51eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5329, 41, 523eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
54 sincossq 12782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
5554adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  1 )
5625, 53, 553eqtr2d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  1 )
5756, 36oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
58 negsub 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
5915, 16, 58sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  + 
-u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
6020, 57, 593eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
61 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
6261rehalfcli 10221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR )
645negcli 9373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u _i  e.  CC
65 mulcl 9079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6664, 8, 65sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
67 efcl 12690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
6912, 68addcld 9112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
7069recld 12004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  e.  RR )
71 halfgt0 10193 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
1  /  2 ) )
7312recld 12004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
7468recld 12004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
75 asinsinlem 20736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
76 negcl 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
7776adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
78 reneg 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
7978adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
80 recl 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
81 pire 20377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  pi  e.  RR
8281rehalfcli 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
8382renegcli 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
84 iooneg 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8583, 82, 84mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8680, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8786biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) )
8882recni 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
8988negnegi 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u (
pi  /  2 )  =  ( pi  / 
2 )
9089oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) )  =  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )
9187, 90syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
9279, 91eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
93 asinsinlem 20736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  0  <  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
9477, 92, 93syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
95 mulneg12 9477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
965, 8, 95sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
9796fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) )
9897fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) ) ) )
9994, 98breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
10073, 74, 75, 99addgt0d 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10112, 68readdd 12024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
102100, 101breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10363, 70, 72, 102mulgt0d 9230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
104 cosval 12729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
105104adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
106 2ne0 10088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  =/=  0
)
10869, 23, 107divrec2d 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
109105, 108eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
110109fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
111 remul2 11940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
11262, 69, 111sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
113110, 112eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
114103, 113breqtrrd 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( cos `  A ) ) )
11543oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11627, 7pncand 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
117115, 116eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
118117fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( Re `  ( cos `  A ) ) )
119114, 118breqtrrd 4241 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
12014, 18, 60, 119eqsqr2d 12177 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
121120oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
12213, 121eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
123122fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12481renegcli 9367 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
12683a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  e.  RR )
127 elioore 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
128127adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
129 pipos 20378 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
13081, 129elrpii 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
131 rphalflt 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
132130, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
13382, 81ltnegi 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( pi  /  2
) )
134132, 133mpbi 201 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  <  -u ( pi  / 
2 )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  -u (
pi  /  2 ) )
136 eliooord 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
137136adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
138137simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
139125, 126, 128, 135, 138lttrd 9236 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Re `  A )
)
140 imre 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
14110, 140syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
1425, 5mulneg1i 9484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
143 ixi 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
144143negeqi 9304 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
14515negnegi 9375 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
146142, 144, 1453eqtri 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
147146oveq1i 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( 1  x.  A )
14864a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
1495a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
150148, 149, 8mulassd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  A )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )
151 mulid2 9094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
152151adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
153147, 150, 1523eqtr3a 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) )  =  A )
154153fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( Re `  A ) )
155141, 154eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  A ) )
156139, 155breqtrrd 4241 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
15781a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
15882a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  e.  RR )
159137simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
160132a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  <  pi )
161128, 158, 157, 159, 160lttrd 9236 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  pi )
162128, 157, 161ltled 9226 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <_  pi )
163155, 162eqbrtrd 4235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi )
164 ellogrn 20462 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  A )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  A )
)  /\  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi ) )
16510, 156, 163, 164syl3anbrc 1139 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  ran  log )
166 logef 20481 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
167165, 166syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( _i  x.  A ) )
168123, 167eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
169168oveq2d 6100 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
1704, 169, 1533eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   2c2 10054   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   ^cexp 11387   Recre 11907   Imcim 11908   sqrcsqr 12043   expce 12669   sincsin 12671   cosccos 12672   picpi 12674   logclog 20457  arcsincasin 20707
This theorem is referenced by:  acoscos  20738  reasinsin  20741  asinsinb  20742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-asin 20710
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