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Theorem asinsin 20188
Description: The arcsine function composed with  sin is equal to the identity. This plus sinasin 20185 allow us to view  sin and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when  A  =  ( pi 
/  2 )  -  _i y for non-negative real  y and also symmetrically at  A  =  _i y  -  ( pi  / 
2 ). In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval  [ -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) ], not just the open interval (see reasinsin 20192). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsin  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem asinsin
StepHypRef Expression
1 sincl 12406 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
3 asinval 20178 . . 3  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5 ax-icn 8796 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
6 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
75, 2, 6sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
8 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
9 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
105, 8, 9sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
11 efcl 12364 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
137, 12pncan3d 9160 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )
1412, 7subcld 9157 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
15 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
162sqcld 11243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
17 subcl 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
19 binom2sub 11220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2012, 7, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) ) )
2112sqvald 11242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
22 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
2322a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
2423, 12, 7mul12d 9021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2521, 24oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
26 coscl 12407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
28 subsq 11210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
2927, 7, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  x.  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
30 sqmul 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
315, 2, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
32 i2 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
3332oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3416mulm1d 9231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3533, 34syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3631, 35eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ^ 2 )  =  -u (
( sin `  A
) ^ 2 ) )
3736oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
3827sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
3938, 16subnegd 9164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
4038, 16addcomd 9014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
4137, 39, 403eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
42 efival 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4472timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4543, 44oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
4627, 7, 7pnpcan2d 9195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4745, 46eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4843, 47oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
49 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5022, 7, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  e.  CC )
5112, 12, 50subdid 9235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5248, 51eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  -  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5329, 41, 523eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
54 sincossq 12456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  1 )
5625, 53, 553eqtr2d 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  1 )
5756, 36oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )
58 negsub 9095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
5915, 16, 58sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  + 
-u ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
6020, 57, 593eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
61 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
62 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6463a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR )
655negcli 9114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u _i  e.  CC
66 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6765, 8, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
68 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
7012, 69addcld 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
7170recld 11679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  e.  RR )
72 halfgt0 9932 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7372a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
1  /  2 ) )
7412recld 11679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
7569recld 11679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
76 asinsinlem 20187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
77 negcl 9052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
79 reneg 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
81 recl 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
82 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  pi  e.  RR
83 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
8584renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
86 iooneg 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8785, 84, 86mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8881, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
8988biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) )
9084recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
9190negnegi 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u (
pi  /  2 )  =  ( pi  / 
2 )
9291oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) )  =  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )
9389, 92syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
9480, 93eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  -u A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
95 asinsinlem 20187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  0  <  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
9678, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) ) )
97 mulneg12 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
985, 8, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
9998fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u A
) ) )
10099fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) ) ) )
10196, 100breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
10274, 75, 76, 101addgt0d 9347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10312, 69readdd 11699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( Re `  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
104102, 103breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
10564, 71, 73, 104mulgt0d 8971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
106 cosval 12403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
108 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
109108a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  =/=  0
)
11070, 23, 109divrec2d 9540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
111107, 110eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )
112111fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
113 remul2 11615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
11463, 70, 113sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  ( Re
`  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
115112, 114eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( cos `  A ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) ) ) )
116105, 115breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( cos `  A ) ) )
11743oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11827, 7pncand 9158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
119117, 118eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( cos `  A
) )
120119fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( Re `  ( cos `  A ) ) )
121116, 120breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
12214, 18, 60, 121eqsqr2d 11852 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
123122oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
12413, 123eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )
125124fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12682renegcli 9108 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
127126a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
12885a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  e.  RR )
129 elioore 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
130129adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
131 pipos 19833 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
13282, 131elrpii 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
133 rphalflt 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
134132, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
13584, 82ltnegi 9317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( pi  /  2
) )
136134, 135mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  <  -u ( pi  / 
2 )
137136a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  -u (
pi  /  2 ) )
138 eliooord 10710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
139138adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
140139simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
141127, 128, 130, 137, 140lttrd 8977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Re `  A )
)
142 imre 11593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
14310, 142syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
1445, 5mulneg1i 9225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
145 ixi 9397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
146145negeqi 9045 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
14715negnegi 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
148144, 146, 1473eqtri 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
149148oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( 1  x.  A )
15065a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
1515a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
152150, 151, 8mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  A )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )
153 mulid2 8836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
154153adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
155149, 152, 1543eqtr3a 2339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) )  =  A )
156155fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( Re `  A ) )
157143, 156eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  A ) )
158141, 157breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
15982a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
16084a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  e.  RR )
161139simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
162134a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( pi  / 
2 )  <  pi )
163130, 160, 159, 161, 162lttrd 8977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  pi )
164130, 159, 163ltled 8967 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <_  pi )
165157, 164eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi )
166 ellogrn 19917 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  <->  ( (
_i  x.  A )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
_i  x.  A )
)  /\  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  <_  pi ) )
16710, 158, 165, 166syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  ran  log )
168 logef 19935 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
169167, 168syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( _i  x.  A ) )
170125, 169eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  A
) )
171170oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
1724, 171, 1553eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ^cexp 11104   Recre 11582   Imcim 11583   sqrcsqr 11718   expce 12343   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348   logclog 19912  arcsincasin 20158
This theorem is referenced by:  acoscos  20189  reasinsin  20192  asinsinb  20193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-asin 20161
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