MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinsinlem Structured version   Unicode version

Theorem asinsinlem 20723
Description: Lemma for asinsin 20724. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsinlem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )

Proof of Theorem asinsinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9041 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
2 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
3 mulcl 9066 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
41, 2, 3sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
54recld 11991 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
65reefcld 12682 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
Re `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
7 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
8 halfpire 20367 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
98renegcli 9354 . . . . . . . 8  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
109rexri 9129 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
118rexri 9129 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
12 elioo2 10949 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( Re `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( Re
`  A )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) ) )
1310, 11, 12mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
147, 13sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
1514simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
1615recoscld 12737 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
Re `  A )
)  e.  RR )
17 efgt0 12696 . . . 4  |-  ( ( Re `  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  (
Re `  ( _i  x.  A ) ) ) )
185, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  ( exp `  ( Re `  ( _i  x.  A
) ) ) )
19 cosq14gt0 20410 . . . 4  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  ( Re `  A
) ) )
2019adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  ( cos `  ( Re `  A ) ) )
216, 16, 18, 20mulgt0d 9217 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
( exp `  (
Re `  ( _i  x.  A ) ) )  x.  ( cos `  (
Re `  A )
) ) )
22 efeul 12755 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  ( _i  x.  A ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) ) ) ) )
234, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( _i  x.  A ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) ) ) ) )
2423fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( Re
`  ( ( exp `  ( Re `  (
_i  x.  A )
) )  x.  (
( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) ) ) )
254imcld 11992 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
2625recoscld 12737 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
2726recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
2825resincld 12736 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
2928recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
30 mulcl 9066 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) ) )  e.  CC )
311, 29, 30sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
3227, 31addcld 9099 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  CC )
336, 32remul2d 12024 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( exp `  (
Re `  ( _i  x.  A ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  ( _i  x.  A ) ) )  x.  ( Re `  ( ( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) ) ) )
3426, 28crred 12028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) ) )
35 imre 11905 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
364, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
371, 1mulneg1i 9471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
38 ixi 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
3938negeqi 9291 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
40 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
4140negnegi 9362 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 1  =  1
4237, 39, 413eqtri 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
4342oveq1i 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( 1  x.  A )
441negcli 9360 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
461a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
4745, 46, 2mulassd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u _i  x.  _i )  x.  A )  =  (
-u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )
48 mulid2 9081 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
4948adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
5043, 47, 493eqtr3a 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u _i  x.  ( _i  x.  A
) )  =  A )
5150fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( Re `  A ) )
5236, 51eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  ( Re `  A ) )
5352fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( cos `  (
Re `  A )
) )
5434, 53eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( ( cos `  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )  =  ( cos `  (
Re `  A )
) )
5554oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( Re `  (
_i  x.  A )
) )  x.  (
Re `  ( ( cos `  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  ( _i  x.  A ) ) )  x.  ( cos `  (
Re `  A )
) ) )
5624, 33, 553eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( _i  x.  A ) ) )  x.  ( cos `  (
Re `  A )
) ) )
5721, 56breqtrrd 4230 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987   RR*cxr 9111    < clt 9112   -ucneg 9284    / cdiv 9669   2c2 10041   (,)cioo 10908   Recre 11894   Imcim 11895   expce 12656   sincsin 12658   cosccos 12659   picpi 12661
This theorem is referenced by:  asinsin  20724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
  Copyright terms: Public domain W3C validator