MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspid Structured version   Unicode version

Theorem aspid 16381
Description: The algebraic span of a subalgebra is itself. (spanid 22841 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
aspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
aspval.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
aspid  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( A `  S )  =  S )

Proof of Theorem aspid
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  W  e. AssAlg )
2 aspval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
32subrgss 15861 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  S  C_  V
)
433ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  S  C_  V
)
5 aspval.a . . . 4  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
6 aspval.l . . . 4  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
75, 2, 6aspval 16379 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  =  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } )
81, 4, 7syl2anc 643 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( A `  S )  =  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t } )
9 3simpc 956 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
) )
10 elin 3522 . . . 4  |-  ( S  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  <->  ( S  e.  (SubRing `  W
)  /\  S  e.  L ) )
119, 10sylibr 204 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  S  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L ) )
12 intmin 4062 . . 3  |-  ( S  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  =  S )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  =  S )
148, 13eqtrd 2467 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  e.  (SubRing `  W )  /\  S  e.  L
)  ->  ( A `  S )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   |^|cint 4042   ` cfv 5446   Basecbs 13461  SubRingcsubrg 15856   LSubSpclss 16000  AssAlgcasa 16361  AlgSpancasp 16362
This theorem is referenced by:  mplbas2  16523  mplind  16554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-assa 16364  df-asp 16365
  Copyright terms: Public domain W3C validator