MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asplss Unicode version

Theorem asplss 16308
Description: The algebraic span of a set of vectors is a vector subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
aspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
aspval.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
asplss  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  e.  L )

Proof of Theorem asplss
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . 3  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
2 aspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 aspval.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
41, 2, 3aspval 16307 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  =  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } )
5 assalmod 16299 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
65adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
7 ssrab2 3364 . . . . 5  |-  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } 
C_  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )
8 inss2 3498 . . . . 5  |-  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  C_  L
97, 8sstri 3293 . . . 4  |-  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } 
C_  L
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } 
C_  L )
11 fvex 5675 . . . . 5  |-  ( A `
 S )  e. 
_V
124, 11syl6eqelr 2469 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  _V )
13 intex 4290 . . . 4  |-  ( { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t }  =/=  (/)  <->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  _V )
1412, 13sylibr 204 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  =/=  (/) )
153lssintcl 15960 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t }  C_  L  /\  { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t }  =/=  (/) )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  L
)
166, 10, 14, 15syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  L )
174, 16eqeltrd 2454 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  e.  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   {crab 2646   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   |^|cint 3985   ` cfv 5387   Basecbs 13389  SubRingcsubrg 15784   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928  AssAlgcasa 16289  AlgSpancasp 16290
This theorem is referenced by:  mplbas2  16451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-assa 16292  df-asp 16293
  Copyright terms: Public domain W3C validator