MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asplss Unicode version

Theorem asplss 16069
Description: The algebraic span of a set of vectors is a vector subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
aspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
aspval.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
asplss  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  e.  L )

Proof of Theorem asplss
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . 3  |-  A  =  (AlgSpan `  W )
2 aspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 aspval.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
41, 2, 3aspval 16068 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  =  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } )
5 assalmod 16060 . . . 4  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  LMod )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
7 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } 
C_  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )
8 inss2 3390 . . . . 5  |-  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  C_  L
97, 8sstri 3188 . . . 4  |-  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } 
C_  L
109a1i 10 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t } 
C_  L )
11 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( A `
 S )  e. 
_V
124, 11syl6eqelr 2372 . . . 4  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  _V )
13 intex 4167 . . . 4  |-  ( { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t }  =/=  (/)  <->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  _V )
1412, 13sylibr 203 . . 3  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  =/=  (/) )
153lssintcl 15721 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t }  C_  L  /\  { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L
)  |  S  C_  t }  =/=  (/) )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W )  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  L
)
166, 10, 14, 15syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  |^| { t  e.  ( (SubRing `  W
)  i^i  L )  |  S  C_  t }  e.  L )
174, 16eqeltrd 2357 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  S  C_  V )  ->  ( A `  S )  e.  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|cint 3862   ` cfv 5255   Basecbs 13148  SubRingcsubrg 15541   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689  AssAlgcasa 16050  AlgSpancasp 16051
This theorem is referenced by:  mplbas2  16212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-assa 16053  df-asp 16054
  Copyright terms: Public domain W3C validator