Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspval Structured version   Unicode version

Theorem aspval 16387
 Description: Value of the algebraic closure operation inside an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a AlgSpan
aspval.v
aspval.l
Assertion
Ref Expression
aspval AssAlg SubRing
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem aspval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . . . 5 AlgSpan
2 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
3 aspval.v . . . . . . . . 9
42, 3syl6eqr 2486 . . . . . . . 8
54pweqd 3804 . . . . . . 7
6 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10 SubRing SubRing
7 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
8 aspval.l . . . . . . . . . . 11
97, 8syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10
106, 9ineq12d 3543 . . . . . . . . 9 SubRing SubRing
11 rabeq 2950 . . . . . . . . 9 SubRing SubRing SubRing SubRing
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8 SubRing SubRing
1312inteqd 4055 . . . . . . 7 SubRing SubRing
145, 13mpteq12dv 4287 . . . . . 6 SubRing SubRing
15 df-asp 16373 . . . . . 6 AlgSpan AssAlg SubRing
16 fvex 5742 . . . . . . . . 9
173, 16eqeltri 2506 . . . . . . . 8
1817pwex 4382 . . . . . . 7
1918mptex 5966 . . . . . 6 SubRing
2014, 15, 19fvmpt 5806 . . . . 5 AssAlg AlgSpan SubRing
211, 20syl5eq 2480 . . . 4 AssAlg SubRing
2221fveq1d 5730 . . 3 AssAlg SubRing
2322adantr 452 . 2 AssAlg SubRing
24 simpr 448 . . . 4 AssAlg
2517elpw2 4364 . . . 4
2624, 25sylibr 204 . . 3 AssAlg
27 assarng 16380 . . . . . . 7 AssAlg
283subrgid 15870 . . . . . . 7 SubRing
2927, 28syl 16 . . . . . 6 AssAlg SubRing
30 assalmod 16379 . . . . . . 7 AssAlg
313, 8lss1 16015 . . . . . . 7
3230, 31syl 16 . . . . . 6 AssAlg
33 elin 3530 . . . . . 6 SubRing SubRing
3429, 32, 33sylanbrc 646 . . . . 5 AssAlg SubRing
35 sseq2 3370 . . . . . 6
3635rspcev 3052 . . . . 5 SubRing SubRing
3734, 36sylan 458 . . . 4 AssAlg SubRing
38 intexrab 4359 . . . 4 SubRing SubRing
3937, 38sylib 189 . . 3 AssAlg SubRing
40 sseq1 3369 . . . . . 6
4140rabbidv 2948 . . . . 5 SubRing SubRing
4241inteqd 4055 . . . 4 SubRing SubRing
43 eqid 2436 . . . 4 SubRing SubRing
4442, 43fvmptg 5804 . . 3 SubRing SubRing SubRing
4526, 39, 44syl2anc 643 . 2 AssAlg SubRing SubRing
4623, 45eqtrd 2468 1 AssAlg SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cint 4050   cmpt 4266  cfv 5454  cbs 13469  crg 15660  SubRingcsubrg 15864  clmod 15950  clss 16008  AssAlgcasa 16369  AlgSpancasp 16370 This theorem is referenced by:  asplss  16388  aspid  16389  aspsubrg  16390  aspss  16391  aspssid  16392  aspval2  16405 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-assa 16372  df-asp 16373
 Copyright terms: Public domain W3C validator