Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspval2 Structured version   Unicode version

Theorem aspval2 16397
 Description: The algebraic closure is the ring closure when the generating set is expanded to include all scalars. EDITORIAL : In light of this, is AlgSpan independently needed? (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval2.a AlgSpan
aspval2.c algSc
aspval2.r mrClsSubRing
aspval2.v
Assertion
Ref Expression
aspval2 AssAlg

Proof of Theorem aspval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3522 . . . . . . . . 9 SubRing SubRing
21anbi1i 677 . . . . . . . 8 SubRing SubRing
3 anass 631 . . . . . . . 8 SubRing SubRing
42, 3bitri 241 . . . . . . 7 SubRing SubRing
5 aspval2.c . . . . . . . . . . 11 algSc
6 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
75, 6issubassa2 16395 . . . . . . . . . 10 AssAlg SubRing
87anbi1d 686 . . . . . . . . 9 AssAlg SubRing
9 unss 3513 . . . . . . . . 9
108, 9syl6bb 253 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing
1110pm5.32da 623 . . . . . . 7 AssAlg SubRing SubRing
124, 11syl5bb 249 . . . . . 6 AssAlg SubRing SubRing
1312abbidv 2549 . . . . 5 AssAlg SubRing SubRing
1413adantr 452 . . . 4 AssAlg SubRing SubRing
15 df-rab 2706 . . . 4 SubRing SubRing
16 df-rab 2706 . . . 4 SubRing SubRing
1714, 15, 163eqtr4g 2492 . . 3 AssAlg SubRing SubRing
1817inteqd 4047 . 2 AssAlg SubRing SubRing
19 aspval2.a . . 3 AlgSpan
20 aspval2.v . . 3
2119, 20, 6aspval 16379 . 2 AssAlg SubRing
22 assarng 16372 . . . . 5 AssAlg
2320subrgmre 15884 . . . . 5 SubRing Moore
2422, 23syl 16 . . . 4 AssAlg SubRing Moore
2524adantr 452 . . 3 AssAlg SubRing Moore
26 eqid 2435 . . . . . . 7 Scalar Scalar
27 assalmod 16371 . . . . . . 7 AssAlg
28 eqid 2435 . . . . . . 7 Scalar Scalar
295, 26, 22, 27, 28, 20asclf 16388 . . . . . 6 AssAlg Scalar
30 frn 5589 . . . . . 6 Scalar
3129, 30syl 16 . . . . 5 AssAlg
3231adantr 452 . . . 4 AssAlg
33 simpr 448 . . . 4 AssAlg
3432, 33unssd 3515 . . 3 AssAlg
35 aspval2.r . . . 4 mrClsSubRing
3635mrcval 13827 . . 3 SubRing Moore SubRing
3725, 34, 36syl2anc 643 . 2 AssAlg SubRing
3818, 21, 373eqtr4d 2477 1 AssAlg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  crab 2701   cun 3310   cin 3311   wss 3312  cint 4042   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  cbs 13461  Scalarcsca 13524  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800  crg 15652  SubRingcsubrg 15856  clss 16000  AssAlgcasa 16361  AlgSpancasp 16362  algSccascl 16363 This theorem is referenced by:  evlseu  19929 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-assa 16364  df-asp 16365  df-ascl 16366
 Copyright terms: Public domain W3C validator