MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assalem Unicode version

Theorem assalem 16057
Description: The properties of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isassa.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
isassa.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
isassa.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
isassa.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
isassa.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
Assertion
Ref Expression
assalem  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( A  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  /\  ( X 
.X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )

Proof of Theorem assalem
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isassa.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 isassa.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 isassa.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  F
)
4 isassa.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 isassa.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  W )
61, 2, 3, 4, 5isassa 16056 . . 3  |-  ( W  e. AssAlg 
<->  ( ( W  e. 
LMod  /\  W  e.  Ring  /\  F  e.  CRing )  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( r  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r 
.x.  y ) )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) ) ) ) )
76simprbi 450 . 2  |-  ( W  e. AssAlg  ->  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( r 
.x.  x )  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) )
8 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
r  .x.  x )  =  ( A  .x.  x ) )
98oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
( r  .x.  x
)  .X.  y )  =  ( ( A 
.x.  x )  .X.  y ) )
10 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
r  .x.  ( x  .X.  y ) )  =  ( A  .x.  (
x  .X.  y )
) )
119, 10eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( r  =  A  ->  (
( ( r  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  <->  ( ( A  .x.  x )  .X.  y )  =  ( A  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) )
12 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
r  .x.  y )  =  ( A  .x.  y ) )
1312oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
x  .X.  ( r  .x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( A  .x.  y ) ) )
1413, 10eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( r  =  A  ->  (
( x  .X.  (
r  .x.  y )
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  <->  ( x  .X.  ( A  .x.  y
) )  =  ( A  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) )
1511, 14anbi12d 691 . . 3  |-  ( r  =  A  ->  (
( ( ( r 
.x.  x )  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) )  <->  ( ( ( A  .x.  x ) 
.X.  y )  =  ( A  .x.  (
x  .X.  y )
)  /\  ( x  .X.  ( A  .x.  y
) )  =  ( A  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) ) )
16 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A  .x.  x )  =  ( A  .x.  X
) )
1716oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( A  .x.  x
)  .X.  y )  =  ( ( A 
.x.  X )  .X.  y ) )
18 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .X.  y )  =  ( X  .X.  y ) )
1918oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A  .x.  ( x  .X.  y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  y ) ) )
2017, 19eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( A  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( A 
.x.  ( x  .X.  y ) )  <->  ( ( A  .x.  X )  .X.  y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  y ) ) ) )
21 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( X  .X.  ( A  .x.  y ) ) )
2221, 19eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( A  .x.  ( x  .X.  y ) )  <->  ( X  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  y ) ) ) )
2320, 22anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( A 
.x.  x )  .X.  y )  =  ( A  .x.  ( x 
.X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( A 
.x.  ( x  .X.  y ) ) )  <-> 
( ( ( A 
.x.  X )  .X.  y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  y ) ) ) ) )
24 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( A  .x.  X
)  .X.  y )  =  ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y ) )
25 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .X.  y )  =  ( X  .X.  Y
) )
2625oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
2724, 26eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( A  .x.  X )  .X.  y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  y ) )  <->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
28 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( A  .x.  y )  =  ( A  .x.  Y
) )
2928oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) ) )
3029, 26eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  y ) )  <->  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
3127, 30anbi12d 691 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( A 
.x.  X )  .X.  y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  y ) ) )  <-> 
( ( ( A 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  /\  ( X  .X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
3215, 23, 31rspc3v 2893 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( r  .x.  x ) 
.X.  y )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
)  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) )  ->  ( (
( A  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  /\  ( X 
.X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
337, 32mpan9 455 1  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  ( A  e.  B  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( A  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  /\  ( X 
.X.  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   LModclmod 15627  AssAlgcasa 16050
This theorem is referenced by:  assaass  16058  assaassr  16059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-assa 16053
  Copyright terms: Public domain W3C validator