Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assapropd Unicode version

Theorem assapropd 16314
 Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1
assapropd.2
assapropd.3
assapropd.4
assapropd.5 Scalar
assapropd.6 Scalar
assapropd.7
assapropd.8
Assertion
Ref Expression
assapropd AssAlg AssAlg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 16307 . . . 4 AssAlg
2 assarng 16308 . . . 4 AssAlg
31, 2jca 519 . . 3 AssAlg
43a1i 11 . 2 AssAlg
5 assalmod 16307 . . . 4 AssAlg
6 assapropd.1 . . . . 5
7 assapropd.2 . . . . 5
8 assapropd.3 . . . . 5
9 assapropd.5 . . . . 5 Scalar
10 assapropd.6 . . . . 5 Scalar
11 assapropd.7 . . . . 5
12 assapropd.8 . . . . 5
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 15935 . . . 4
145, 13syl5ibr 213 . . 3 AssAlg
15 assarng 16308 . . . 4 AssAlg
16 assapropd.4 . . . . 5
176, 7, 8, 16rngpropd 15623 . . . 4
1815, 17syl5ibr 213 . . 3 AssAlg
1914, 18jcad 520 . 2 AssAlg
209, 10eqtr3d 2422 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2120eleq1d 2454 . . . . . . 7 Scalar Scalar
2213, 17, 213anbi123d 1254 . . . . . 6 Scalar Scalar
2322adantr 452 . . . . 5 Scalar Scalar
24 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13
25 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
279fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
2811, 27syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
2924, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3026, 29eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
31 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3224, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
36 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
3834, 35, 36, 37lmodvscl 15895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
3925, 30, 33, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
4039, 32eleqtrrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13
41 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13
4216proplem 13843 . . . . . . . . . . . . 13
4324, 40, 41, 42syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
4412proplem 13843 . . . . . . . . . . . . . 14
4524, 26, 31, 44syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
4645oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . 12
4743, 46eqtrd 2420 . . . . . . . . . . 11
48 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15
4941, 32eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5134, 50rngcl 15605 . . . . . . . . . . . . . . 15
5248, 33, 49, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
5352, 32eleqtrrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13
5412proplem 13843 . . . . . . . . . . . . 13
5524, 26, 53, 54syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
5616proplem 13843 . . . . . . . . . . . . . 14
5724, 31, 41, 56syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
5857oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12
5955, 58eqtrd 2420 . . . . . . . . . . 11
6047, 59eqeq12d 2402 . . . . . . . . . 10
6134, 35, 36, 37lmodvscl 15895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
6225, 30, 49, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
6362, 32eleqtrrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13
6416proplem 13843 . . . . . . . . . . . . 13
6524, 31, 63, 64syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
6612proplem 13843 . . . . . . . . . . . . . 14
6724, 26, 41, 66syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
6867oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12
6965, 68eqtrd 2420 . . . . . . . . . . 11
7069, 59eqeq12d 2402 . . . . . . . . . 10
7160, 70anbi12d 692 . . . . . . . . 9
7271anassrs 630 . . . . . . . 8
73722ralbidva 2690 . . . . . . 7
7473ralbidva 2666 . . . . . 6
7528adantr 452 . . . . . . 7 Scalar
766adantr 452 . . . . . . . 8
7776raleqdv 2854 . . . . . . . 8
7876, 77raleqbidv 2860 . . . . . . 7
7975, 78raleqbidv 2860 . . . . . 6 Scalar
8010fveq2d 5673 . . . . . . . . 9 Scalar
8111, 80syl5eq 2432 . . . . . . . 8 Scalar
8281adantr 452 . . . . . . 7 Scalar
837adantr 452 . . . . . . . 8
8483raleqdv 2854 . . . . . . . 8
8583, 84raleqbidv 2860 . . . . . . 7
8682, 85raleqbidv 2860 . . . . . 6 Scalar
8774, 79, 863bitr3d 275 . . . . 5 Scalar Scalar
8823, 87anbi12d 692 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
8934, 35, 37, 36, 50isassa 16303 . . . 4 AssAlg Scalar Scalar
90 eqid 2388 . . . . 5
91 eqid 2388 . . . . 5 Scalar Scalar
92 eqid 2388 . . . . 5 Scalar Scalar
93 eqid 2388 . . . . 5
94 eqid 2388 . . . . 5
9590, 91, 92, 93, 94isassa 16303 . . . 4 AssAlg Scalar Scalar
9688, 89, 953bitr4g 280 . . 3 AssAlg AssAlg
9796ex 424 . 2 AssAlg AssAlg
984, 19, 97pm5.21ndd 344 1 AssAlg AssAlg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1717  wral 2650  cfv 5395  (class class class)co 6021  cbs 13397   cplusg 13457  cmulr 13458  Scalarcsca 13460  cvsca 13461  crg 15588  ccrg 15589  clmod 15878  AssAlgcasa 16297 This theorem is referenced by:  opsrassa  16477 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-assa 16300
 Copyright terms: Public domain W3C validator