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Theorem assapropd 16378
Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
assapropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
assapropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
assapropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
assapropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
assapropd.6  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
assapropd.7  |-  P  =  ( Base `  F
)
assapropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
assapropd  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, L, y    x, P, y    ph, x, y   
x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables  w  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 16371 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg  ->  K  e.  LMod )
2 assarng 16372 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg  ->  K  e.  Ring )
31, 2jca 519 . . 3  |-  ( K  e. AssAlg  ->  ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  ->  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) ) )
5 assalmod 16371 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg  ->  L  e.  LMod )
6 assapropd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
7 assapropd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
8 assapropd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
9 assapropd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
10 assapropd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
11 assapropd.7 . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  F
)
12 assapropd.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 15999 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
145, 13syl5ibr 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  K  e.  LMod ) )
15 assarng 16372 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg  ->  L  e.  Ring )
16 assapropd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
176, 7, 8, 16rngpropd 15687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
1815, 17syl5ibr 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  K  e.  Ring ) )
1914, 18jcad 520 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) ) )
209, 10eqtr3d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
2120eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  CRing  <->  (Scalar `  L
)  e.  CRing ) )
2213, 17, 213anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  <->  ( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing ) ) )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  (
( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  <-> 
( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing ) ) )
24 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  ph )
25 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  K  e.  LMod )
26 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
r  e.  P )
279fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
2811, 27syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
2924, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
3026, 29eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
31 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  B )
3224, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  B  =  ( Base `  K ) )
3331, 32eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
34 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
36 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
37 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  (Scalar `  K )
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
)
3834, 35, 36, 37lmodvscl 15959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  K ) )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  ( Base `  K ) )
3925, 30, 33, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  ( Base `  K ) )
4039, 32eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  B )
41 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  w  e.  B )
4216proplem 13907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
r ( .s `  K ) z )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4324, 40, 41, 42syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4412proplem 13907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  z  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
4524, 26, 31, 44syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
4645oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4743, 46eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w ) )
48 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  K  e.  Ring )
4941, 32eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  w  e.  ( Base `  K ) )
50 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
5134, 50rngcl 15669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Ring  /\  z  e.  ( Base `  K
)  /\  w  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( z
( .r `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
5248, 33, 49, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
5352, 32eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  e.  B )
5412proplem 13907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  (
z ( .r `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )
5524, 26, 53, 54syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  K ) w ) ) )
5616proplem 13907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  =  ( z ( .r `  L
) w ) )
5724, 31, 41, 56syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  =  ( z ( .r `  L
) w ) )
5857oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) )
5955, 58eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) )
6047, 59eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  <-> 
( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) )
6134, 35, 36, 37lmodvscl 15959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  K ) )  /\  w  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
6225, 30, 49, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
6362, 32eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B )
6416proplem 13907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
6524, 31, 63, 64syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )
6612proplem 13907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
6724, 26, 41, 66syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
6867oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )
6965, 68eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )
7069, 59eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  <-> 
( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) )
7160, 70anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
z ( .r `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) ) ) ) )
7271anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring )
)  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <-> 
( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
73722ralbidva 2737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  r  e.  P )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
z ( .r `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) ) ) ) )
7473ralbidva 2713 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
7528adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K ) ) )
766adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
7776raleqdv 2902 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  K )
( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) ) ) )
7876, 77raleqbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
7975, 78raleqbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. r  e.  (
Base `  (Scalar `  K
) ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
8010fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
8111, 80syl5eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
8281adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L ) ) )
837adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
8483raleqdv 2902 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  L )
( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
8583, 84raleqbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8682, 85raleqbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. r  e.  (
Base `  (Scalar `  L
) ) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8774, 79, 863bitr3d 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K
) ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L ) ) A. z  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8823, 87anbi12d 692 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  (
( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( ( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L
)  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
8934, 35, 37, 36, 50isassa 16367 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg 
<->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
90 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
91 eqid 2435 . . . . 5  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
92 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  L )
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
)
93 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
94 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
9590, 91, 92, 93, 94isassa 16367 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg 
<->  ( ( L  e. 
LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
9688, 89, 953bitr4g 280 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
9796ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring )  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) ) )
984, 19, 97pm5.21ndd 344 1  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   LModclmod 15942  AssAlgcasa 16361
This theorem is referenced by:  opsrassa  16541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-assa 16364
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