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Theorem assapropd 16067
Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
assapropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
assapropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
assapropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
assapropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
assapropd.6  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
assapropd.7  |-  P  =  ( Base `  F
)
assapropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
assapropd  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, L, y    x, P, y    ph, x, y   
x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables  w  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 16060 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg  ->  K  e.  LMod )
2 assarng 16061 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg  ->  K  e.  Ring )
31, 2jca 518 . . 3  |-  ( K  e. AssAlg  ->  ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring ) )
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  ->  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) ) )
5 assalmod 16060 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg  ->  L  e.  LMod )
6 assapropd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
7 assapropd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
8 assapropd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
9 assapropd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
10 assapropd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
11 assapropd.7 . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  F
)
12 assapropd.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 15688 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
145, 13syl5ibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  K  e.  LMod ) )
15 assarng 16061 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg  ->  L  e.  Ring )
16 assapropd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
176, 7, 8, 16rngpropd 15372 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
1815, 17syl5ibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  K  e.  Ring ) )
1914, 18jcad 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e. AssAlg  ->  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) ) )
209, 10eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
2120eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  CRing  <->  (Scalar `  L
)  e.  CRing ) )
2213, 17, 213anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  <->  ( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing ) ) )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  (
( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  <-> 
( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing ) ) )
24 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  ph )
25 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  K  e.  LMod )
26 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
r  e.  P )
279fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
2811, 27syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
2924, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
3026, 29eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
31 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  B )
3224, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  B  =  ( Base `  K ) )
3331, 32eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
36 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
37 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  (Scalar `  K )
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
)
3834, 35, 36, 37lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  K ) )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  ( Base `  K ) )
3925, 30, 33, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  ( Base `  K ) )
4039, 32eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  e.  B )
41 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  w  e.  B )
4216proplem 13592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
r ( .s `  K ) z )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4324, 40, 41, 42syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4412proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  z  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
4524, 26, 31, 44syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
4645oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w ) )
4743, 46eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w ) )
48 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  K  e.  Ring )
4941, 32eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  ->  w  e.  ( Base `  K ) )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
5134, 50rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Ring  /\  z  e.  ( Base `  K
)  /\  w  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( z
( .r `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
5248, 33, 49, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
5352, 32eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  e.  B )
5412proplem 13592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  (
z ( .r `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )
5524, 26, 53, 54syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  K ) w ) ) )
5616proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  =  ( z ( .r `  L
) w ) )
5724, 31, 41, 56syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) w )  =  ( z ( .r `  L
) w ) )
5857oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) )
5955, 58eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) )
6047, 59eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  <-> 
( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) )
6134, 35, 36, 37lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  K ) )  /\  w  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
6225, 30, 49, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
6362, 32eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B )
6416proplem 13592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
6524, 31, 63, 64syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )
6612proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
6724, 26, 41, 66syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
6867oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )
6965, 68eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )
7069, 59eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  <-> 
( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) )
7160, 70anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  ( r  e.  P  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
z ( .r `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) ) ) ) )
7271anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring )
)  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <-> 
( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
73722ralbidva 2583 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  /\  r  e.  P )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
z ( .r `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r
`  L ) w ) ) ) ) )
7473ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
7528adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K ) ) )
766adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
7776raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  K )
( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) ) ) )
7876, 77raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K
) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
7975, 78raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) z ) ( .r `  K ) w )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) )  /\  ( z ( .r `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( r ( .s `  K ) ( z ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. r  e.  (
Base `  (Scalar `  K
) ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
8010fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
8111, 80syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
8281adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L ) ) )
837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
8483raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  L )
( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
8583, 84raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r
`  L ) w )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L
) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8682, 85raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) z ) ( .r `  L ) w )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) )  /\  ( z ( .r `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( z ( .r `  L
) w ) ) )  <->  A. r  e.  (
Base `  (Scalar `  L
) ) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8774, 79, 863bitr3d 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K
) ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L ) ) A. z  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8823, 87anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  (
( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( ( L  e.  LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L
)  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
8934, 35, 37, 36, 50isassa 16056 . . . 4  |-  ( K  e. AssAlg 
<->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring  /\  (Scalar `  K )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) z ) ( .r `  K
) w )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) )  /\  ( z ( .r `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( r ( .s
`  K ) ( z ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
90 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
91 eqid 2283 . . . . 5  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
92 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  L )
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
)
93 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
94 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
9590, 91, 92, 93, 94isassa 16056 . . . 4  |-  ( L  e. AssAlg 
<->  ( ( L  e. 
LMod  /\  L  e.  Ring  /\  (Scalar `  L )  e.  CRing )  /\  A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) z ) ( .r `  L
) w )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) )  /\  ( z ( .r `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) )  =  ( r ( .s
`  L ) ( z ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
9688, 89, 953bitr4g 279 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  LMod  /\  K  e.  Ring ) )  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
9796ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  K  e.  Ring )  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) ) )
984, 19, 97pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( K  e. AssAlg  <->  L  e. AssAlg ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   LModclmod 15627  AssAlgcasa 16050
This theorem is referenced by:  opsrassa  16230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-assa 16053
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