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Theorem asymref 5059
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive.  U. U. R is the field of a relation by relfld 5198. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
asymref  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem asymref
StepHypRef Expression
1 df-br 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
2 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3opeluu 4526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  ( x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
51, 4sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x R y  ->  (
x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
65simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( x R y  ->  x  e.  U. U. R )
76adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  e.  U. U. R
)
87pm4.71ri 614 . . . . . . 7  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  ( x R y  /\  y R x ) ) )
98bibi1i 305 . . . . . 6  |-  ( ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e. 
U. U. R  /\  x  =  y ) )  <-> 
( ( x  e. 
U. U. R  /\  (
x R y  /\  y R x ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y ) ) )
10 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
112, 3brcnv 4864 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
12 df-br 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
1311, 12bitr3i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( y R x  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
141, 13anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
1510, 14bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( x R y  /\  y R x ) )
163opelres 4960 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e.  U. U. R ) )
17 df-br 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
183ideq 4836 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1917, 18bitr3i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
2019anbi2ci 677 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
U. U. R )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
)
2116, 20bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
)
2215, 21bibi12i 306 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  ( (
x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
) )
23 pm5.32 617 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  U. U. R  /\  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
) )
249, 22, 233bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  ( x  e.  U. U. R  -> 
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2524albii 1553 . . . 4  |-  ( A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  A. y
( x  e.  U. U. R  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
26 19.21v 1831 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e. 
U. U. R  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y
) )  <->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2725, 26bitri 240 . . 3  |-  ( A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2827albii 1553 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  A. x
( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
29 relcnv 5051 . . . 4  |-  Rel  `' R
30 relin2 4804 . . . 4  |-  ( Rel  `' R  ->  Rel  ( R  i^i  `' R ) )
3129, 30ax-mp 8 . . 3  |-  Rel  ( R  i^i  `' R )
32 relres 4983 . . 3  |-  Rel  (  _I  |`  U. U. R
)
33 eqrel 4777 . . 3  |-  ( ( Rel  ( R  i^i  `' R )  /\  Rel  (  _I  |`  U. U. R ) )  -> 
( ( R  i^i  `' R )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 653 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
35 df-ral 2548 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  A. x
( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
3628, 34, 353bitr4i 268 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  asymref2  5060  letsr  14349  inposet  25278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-res 4701
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