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Theorem asymref2 5076
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
asymref2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem asymref2
StepHypRef Expression
1 asymref 5075 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
2 albiim 1601 . . 3  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  (
x R y  /\  y R x ) ) ) )
32ralbii 2580 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  A. x  e.  U. U. R ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  (
x R y  /\  y R x ) ) ) )
4 r19.26 2688 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. U. R
( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) ) ) )
5 ancom 437 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  /\  A. x  e. 
U. U. R A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
6 equcom 1665 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
76imbi1i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) )  <->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
87albii 1556 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  A. y ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
9 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ y  x R x
10 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
11 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1210, 11anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
13 anidm 625 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R x  /\  x R x )  <->  x R x )
1412, 13syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  x R x ) )
159, 14equsal 1913 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <-> 
x R x )
168, 15bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <-> 
x R x )
1716ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  A. x  e.  U. U. R x R x )
18 df-ral 2561 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e. 
U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
19 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
20 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
21 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
2220, 21opeluu 4542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  ( x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
2322simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  x  e. 
U. U. R )
2419, 23sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x R y  ->  x  e.  U. U. R )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  e.  U. U. R
)
2625pm2.24d 135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
( -.  x  e. 
U. U. R  ->  x  =  y ) )
2726com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  U. U. R  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
2827alrimiv 1621 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
29 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3028, 29ja 153 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
31 ax-1 5 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  ->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
3230, 31impbii 180 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  <->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3332albii 1556 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e. 
U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3418, 33bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3517, 34anbi12i 678 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
364, 5, 353bitri 262 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R
( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
371, 3, 363bitri 262 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707
This theorem is referenced by:  pslem  14331  psss  14339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-res 4717
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