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Theorem asymref2 5218
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
asymref2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem asymref2
StepHypRef Expression
1 asymref 5217 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
2 albiim 1618 . . 3  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  (
x R y  /\  y R x ) ) ) )
32ralbii 2698 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  A. x  e.  U. U. R ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  (
x R y  /\  y R x ) ) ) )
4 r19.26 2806 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. U. R
( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) ) ) )
5 ancom 438 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  /\  A. x  e. 
U. U. R A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
6 equcom 1688 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
76imbi1i 316 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) )  <->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
87albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  A. y ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
9 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ y  x R x
10 breq2 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
11 breq1 4183 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1210, 11anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
13 anidm 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R x  /\  x R x )  <->  x R x )
1412, 13syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  x R x ) )
159, 14equsal 1966 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <-> 
x R x )
168, 15bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <-> 
x R x )
1716ralbii 2698 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  A. x  e.  U. U. R x R x )
18 df-ral 2679 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e. 
U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
19 df-br 4181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
20 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
21 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
2220, 21opeluu 4682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  ( x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
2322simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  x  e. 
U. U. R )
2419, 23sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x R y  ->  x  e.  U. U. R )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  e.  U. U. R
)
2625pm2.24d 137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
( -.  x  e. 
U. U. R  ->  x  =  y ) )
2726com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  U. U. R  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
2827alrimiv 1638 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
29 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3028, 29ja 155 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
31 ax-1 5 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  ->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) ) )
3230, 31impbii 181 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  <->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3332albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e. 
U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3418, 33bitri 241 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
3517, 34anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  U. U. R A. y ( x  =  y  -> 
( x R y  /\  y R x ) )  /\  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
364, 5, 353bitri 263 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R
( A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )  /\  A. y ( x  =  y  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
371, 3, 363bitri 263 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( A. x  e. 
U. U. R x R x  /\  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    i^i cin 3287   <.cop 3785   U.cuni 3983   class class class wbr 4180    _I cid 4461   `'ccnv 4844    |` cres 4847
This theorem is referenced by:  pslem  14601  psss  14609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-res 4857
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