MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atan1 Structured version   Unicode version

Theorem atan1 20773
Description: The arctangent of  1 is  pi 
/  4. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atan1  |-  (arctan ` 
1 )  =  ( pi  /  4 )

Proof of Theorem atan1
StepHypRef Expression
1 tan4thpi 20427 . . 3  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  1
21fveq2i 5734 . 2  |-  (arctan `  ( tan `  ( pi 
/  4 ) ) )  =  (arctan ` 
1 )
3 pire 20377 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
4 4nn 10140 . . . . 5  |-  4  e.  NN
5 nndivre 10040 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( pi  /  4
)  e.  RR )
63, 4, 5mp2an 655 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
76recni 9107 . . 3  |-  ( pi 
/  4 )  e.  CC
8 rere 11932 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  4 ) )  =  ( pi  /  4
) )
96, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Re
`  ( pi  / 
4 ) )  =  ( pi  /  4
)
10 pipos 20378 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
113, 10elrpii 10620 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR+
12 rphalfcl 10641 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
14 rpgt0 10628 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  2
)
16 halfpire 20380 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
17 lt0neg2 9540 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
1915, 18mpbi 201 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
20 nnrp 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
214, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
22 rpdivcl 10639 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  4 )  e.  RR+ )
2311, 21, 22mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR+
24 rpgt0 10628 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  4
) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <  ( pi  /  4
)
2616renegcli 9367 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
27 0re 9096 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2826, 27, 6lttri 9204 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  4 ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
pi  /  4 ) )
2919, 25, 28mp2an 655 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )
303recni 9107 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
31 2cn 10075 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
32 2ne0 10088 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
3331, 32pm3.2i 443 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
34 divdiv1 9730 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  /  2
)  =  ( pi 
/  ( 2  x.  2 ) ) )
3530, 33, 33, 34mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  =  ( pi  /  (
2  x.  2 ) )
36 2t2e4 10132 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3736oveq2i 6095 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
3835, 37eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  =  ( pi  /  4
)
39 rphalflt 10643 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  < 
( pi  /  2
) )
4013, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  /  2 )  < 
( pi  /  2
)
4138, 40eqbrtrri 4236 . . . . 5  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( pi  /  2
)
4226rexri 9142 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4316rexri 9142 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
44 elioo2 10962 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( pi  / 
4 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  4 )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )  /\  (
pi  /  4 )  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
4 )  /\  (
pi  /  4 )  <  ( pi  / 
2 ) ) )
466, 29, 41, 45mpbir3an 1137 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
479, 46eqeltri 2508 . . 3  |-  ( Re
`  ( pi  / 
4 ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
48 atantan 20768 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  4
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( pi 
/  4 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  ( pi  /  4
) ) )  =  ( pi  /  4
) )
497, 47, 48mp2an 655 . 2  |-  (arctan `  ( tan `  ( pi 
/  4 ) ) )  =  ( pi 
/  4 )
502, 49eqtr3i 2460 1  |-  (arctan ` 
1 )  =  ( pi  /  4 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000   RR*cxr 9124    < clt 9125   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   4c4 10056   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   Recre 11907   tanctan 12673   picpi 12674  arctancatan 20709
This theorem is referenced by:  leibpi  20787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-tan 12679  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-atan 20712
  Copyright terms: Public domain W3C validator