MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandmcj Unicode version

Theorem atandmcj 20618
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandmcj  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 A )  e. 
dom arctan )

Proof of Theorem atandmcj
StepHypRef Expression
1 atandm3 20587 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 ) )
21simplbi 447 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
32cjcld 11930 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 A )  e.  CC )
4 2nn0 10172 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 cjexp 11884 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 A ) ^
2 ) )
62, 4, 5sylancl 644 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( A ^
2 ) )  =  ( ( * `  A ) ^ 2 ) )
72sqcld 11450 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
87cjcjd 11933 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( A ^ 2 ) )
91simprbi 451 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 )
108, 9eqnetrd 2570 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  =/=  -u 1
)
11 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( ( * `  ( A ^ 2 ) )  =  -u 1  ->  (
* `  ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( * `  -u 1
) )
12 1re 9025 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1312renegcli 9296 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
14 cjre 11873 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( * `  -u 1
)  =  -u 1
)
1513, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
1611, 15syl6eq 2437 . . . . 5  |-  ( ( * `  ( A ^ 2 ) )  =  -u 1  ->  (
* `  ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  = 
-u 1 )
1716necon3i 2591 . . . 4  |-  ( ( * `  ( * `
 ( A ^
2 ) ) )  =/=  -u 1  ->  (
* `  ( A ^ 2 ) )  =/=  -u 1 )
1810, 17syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( A ^
2 ) )  =/=  -u 1 )
196, 18eqnetrrd 2572 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( * `  A ) ^ 2 )  =/=  -u 1 )
20 atandm3 20587 . 2  |-  ( ( * `  A )  e.  dom arctan  <->  ( ( * `
 A )  e.  CC  /\  ( ( * `  A ) ^ 2 )  =/=  -u 1 ) )
213, 19, 20sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 A )  e. 
dom arctan )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   dom cdm 4820   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   1c1 8926   -ucneg 9226   2c2 9983   NN0cn0 10155   ^cexp 11311   *ccj 11830  arctancatan 20573
This theorem is referenced by:  atancj  20619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-atan 20576
  Copyright terms: Public domain W3C validator