MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandmcj Structured version   Unicode version

Theorem atandmcj 20741
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandmcj  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 A )  e. 
dom arctan )

Proof of Theorem atandmcj
StepHypRef Expression
1 atandm3 20710 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 ) )
21simplbi 447 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
32cjcld 11993 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 A )  e.  CC )
4 2nn0 10230 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 cjexp 11947 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 A ) ^
2 ) )
62, 4, 5sylancl 644 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( A ^
2 ) )  =  ( ( * `  A ) ^ 2 ) )
72sqcld 11513 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
87cjcjd 11996 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( A ^ 2 ) )
91simprbi 451 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 )
108, 9eqnetrd 2616 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  =/=  -u 1
)
11 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( ( * `  ( A ^ 2 ) )  =  -u 1  ->  (
* `  ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( * `  -u 1
) )
12 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1312renegcli 9354 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
14 cjre 11936 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( * `  -u 1
)  =  -u 1
)
1513, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
1611, 15syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( ( * `  ( A ^ 2 ) )  =  -u 1  ->  (
* `  ( * `  ( A ^ 2 ) ) )  = 
-u 1 )
1716necon3i 2637 . . . 4  |-  ( ( * `  ( * `
 ( A ^
2 ) ) )  =/=  -u 1  ->  (
* `  ( A ^ 2 ) )  =/=  -u 1 )
1810, 17syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 ( A ^
2 ) )  =/=  -u 1 )
196, 18eqnetrrd 2618 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( * `  A ) ^ 2 )  =/=  -u 1 )
20 atandm3 20710 . 2  |-  ( ( * `  A )  e.  dom arctan  <->  ( ( * `
 A )  e.  CC  /\  ( ( * `  A ) ^ 2 )  =/=  -u 1 ) )
213, 19, 20sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( * `
 A )  e. 
dom arctan )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   1c1 8983   -ucneg 9284   2c2 10041   NN0cn0 10213   ^cexp 11374   *ccj 11893  arctancatan 20696
This theorem is referenced by:  atancj  20742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-atan 20699
  Copyright terms: Public domain W3C validator